Source: Svenska Betongföreningens handbok till Eurokod 2 (Volym II), Example B1
Date: 2012

Version av PRE-Stress: 6.07.011 (2019-04-27)

Normer som används

Övrig dokumentation

Svenska betongföreningens handbok till Eurokod 2, (volym I) - Huvuddel I

Förutsättningar

Grundförutsättningar

Sadelbalk ingående i en hallbyggnad. Balkens totallängd L=16,0m och teoretisk spännvidd l = 15,6 m. Balkarnas centrumavstånd a = 6,0 m. Byggnaden är placerad i Borlänge. Taket utgörs av korrugerad stålplåt med isolering. Inomhusmiljö i uppvärmda lokaler (RH = 55%). Exponeringsklass X0. Säkerhetsklass 2.

Material:        Betong C45/55
                      Armeringsstål B500B
                      Spännstål:      7-trådig spännlina ø_p = 13mm, tvärsnittsarea = 100 mm², relaxationsklass 2
                                             f_p0,1k = 1580 MPa
                                             f_puk = 1860 MPa
                                             E_p = 195 GPa
                                             ε_puk = 3,5 * 10^-3

Balkgeometri och tillverkning

Balken har I-tvärsnitt utefter huvuddelen av längden och rektangulärt tvärsnitt vid ändarna. Översidan har lutning 1:16. Avspänning sker långsamt. Vid avspänning har betongen en hållfasthet motsvarande klass C30/37.

Dimensionerande hållfastheter

Hållfastheter bestäms enligt EK2 avsnitt 3.1.6, 3.2.7, 3.3.6
Betong:
                      f_ck = 45 MPa
                      f_cd = α_cc * f_ck/γ_c = 1,0 * 45/1,5 = 30,0 MPa
                      f_ctk0,05 = 2,7 MPa
                      f_ctd = α_ct * f_ctk0,05/γ_c = 1,0 * 2,7/1,5 = 1,80 MPa
                      f_ctm = 3,8 MPa
                      E_cm = 36 GPa

           Vid avspänning:
                      f_ck,i = 30 MPa
                      f_ctk0,05,i = 2,0 MPa
                      f_ctm,i = 2,9 MPa
                      E_cm,i = 33 GPa

Armering:
                      f_yk = 500 MPa
                      f_yd = f_yk/γ_s = 500/1,15 = 435 MPa
                      E_s = 200 GPa

Spännstål:
                      7-trådig lina
                      ø_p = 13 mm
                      A_pi = 100 mm²
                      f_p0,1k = 1580 MPa
                      f_pd = f_p0,1k/γ_s = 1580/1,15 = 1374 MPa
                      f_pk = 1860 MPa
                      f_pud = f_pk/γ_s = 1860 / 1,15 = 1617 MPa
                      E_p = 195 GPa
                      ε_puk = 3,5 * 10^-3

Dimensionerande last

Permanent last:
                      Egentyngd balk:                g_b
                      Egentyngd tak:                  g_r = 0,4 kN/m² (korrugerad stålplåt med isolering)
                      Egentyngd installationer:   g_s = 0,5 kN/m²

Variabel last:
                      Snölast (EN 1991-1-3, avsnitt 5.2, 5.3.2, bilaga NA, NB):
                                            s = μ_i * C_e * C_t * s_k
                                            μ_i = 0,8 (formfaktor), (sadeltak, taklutning 1:16, motsvarar 3,5º < 30º)
                                            C_e = 1,0 (exponeringskoefficient) (antas på säker sida till 1,0)
                                            C_t = 1,0 (värmekoefficient) (antas på säker sida till 1,0)
                                            s_k = 3 kN/m² (karaktäristisk snölast på mark, snözon 3)
                                            s = 0,8 * 1,0 * 1,0 * 3,0 = 2,4 kN/m²
                                            Reduktionsfaktorer (SS-EN 1990, bilaga NB):
                                            ψ₀ = 0,8; ψ₁ = 0,6; ψ₂ = 0,2 (för snölast s_k >= 3,0 kN/m²)
                      I detta exempel behandlas endast snölastfall med jämnt utbredd last på hela balken.

Brottgränstillstånd (SS-EN 1990, avsnitt 6.4.3.2, bilaga NB, BFS 2004:10 (Anm. Upphävd genom BFS 2008:8 (EKS 1)))

                      Lastkombination enligt ekv (6.10a):
                 γ_d = 0,91 (säkerhetsklass 2)
                      Dimensionerande last per längdmeter balk, balkarnas centrumavstånd 6,0 m:
                      q_d = 0,91 * 1,35 (g_b + 0,4 * 6,0 + 0,5 * 6,0) + 0,91 * 1,5 * 0,8 * 2,4 * 6,0 = 1,23 * g_b + 22,4 kN/m

                      Lastkombination enligt ekv (6.10b):

                      Dimensionerande last per längdmeter balk, balkarnas centrumavstånd 6,0 m:
                      q_d = 0,91 * 0,89 * 1,35 (g_b + 0,4 * 6,0 + 0,5 * 6,0) + 0,91 * 1,5 * 2,4 * 6,0 = 1,09 * g_b + 25,6 kN/m

Bruksgränstillstånd (SS-EN 1990, avsnitt 6.5.3):

                      Karaktäristisk lastkombination:

                                    Karaktäristisk last per längdmeter balk
                                    q_k = (g_b + 0,4 * 6,0 + 0,5 * 6,0) + 2,4 * 6,0 = g_b + 19,8 kN/m

                      Frekvent lastkombination:

                                    Frekvent last per längdmeter balk
                                    q_f = (g_b + 0,4 * 6,0 + 0,5 * 6,0) + 0,6 * 2,4 * 6,0 = g_b + 14,0 kN/m

                      Kvasipermanent lastkombination:

                                    Kvasipermanent last per längdmeter balk
                                    q_l = (g_b + 0,4 * 6,0 + 0,5 * 6,0) + 0,2 * 2,4 * 6,0 = g_b + 8,3 kN/m

Spänningskriterier

Utöver spänningsbegränsningar som anges i EK2 avsnitt 7.2 skall balken dimensioneras så att balken förblir osprucken för karaktäristisk lastkombination i bruksgränstillstånd (frivilligt val).

För karaktäristisk last i bruksgränstillstånd väljs att begränsa normalspänning vid dragen kant enligt

                      σ_ct,max = f_ctk0,05 = 2,7 MPa

Kommentar: För en förspänd konstruktion i exponeringsklass X0 finns enligt EK2 inget krav på sprickfrihet i bruksgränstillstånd. I det aktuella exemplet är sprickfrihet därför ett eget och frivilligt valt dimensioneringskriterium. Enligt EK2 avsnitt 7.1(2) kan ett tvärsnitt betraktas som osprucket om normalspänningen vid böjning inte överskrider f_ct,eff, där f_ct,eff får sättas till f_ctm eller f_ctm,fl. Detta ger en realistisk bedömning av huruvida tvärsnittet ska beaktas som sprucket eller osprucket, men innebär samtidigt en relativt hög risk för sprickbildning. Vid dimensionering för sprickfrihet kan det vara lämpligt att välja ett lägre värde, exempelvis lågt karaktäristiskt värde f_ctk0,05. Om det är aktuellt att ta hänsyn till korrosionsrisk begränsas spänningen till f_ctk0,05/ξ där ξ är spricksäkerhet enligt bilaga NA.

Om normalspänning vid tryckt kant överskrider 0,45f_ck för kvasipermanent last bör olinjär krypning beaktas, EK2 avsnitt 7.2(3).

                      |σ_cc,max| = 0,45f_ck = 0,45 * 45 = 20,3 MPa

Vid avspänning godtas böjsprickor i balkens överkant. Normalspänning vid tryckt kant bör begränsas för att undvika skador på grund av krossning eller spjälkning (längsgående sprickor). Enligt EK2 avsnitt 5.10.2.2(5) får följande begränsning tillämpas för förespända element om det kan visas genom försök eller erfarenhet att spjälkning inte inträffar.

                      |σ_cci,max| = k₆ * f_cki = 0,7 * 30 = 21,0 MPa

                      där k₆ är en nationell parameter, enligt bilaga NA tillämpas rekommenderat värde.

Kommentar: Spännkraften verkar permanent på konstruktionen och bör därför beaktas som en långtidslast. Vid spänningsnivåer över 0,45f_cki kan olinjär krypning förväntas, vilket då bör beaktas vid bestämning av kryptal, EK2 5.10.2.2(5).

Preliminär dimensionering

Val av balkhöjd och bestämning av balkgeometri

Balktvärsnitt väljs preliminärt med hjälp handboken Bygga med prefab. För förspända sadelbalkar SIB/F med spännvidd 15-20m väljs balkhöjden vid nock till 900, 1050, 1200, 1330mm.

Enligt diagram har SIB/F/30/105 en bärförmåga på ca 30 kN/m (utöver egentyngd) och en spricklast på ca 20 kN/m. För att inte ligga för nära balkens kapacitet, speciellt med hänsyn till påkänningar vid avspänning, väljs SIB/F/30/120.

Balktvärsnitt i mittsnitt, beteckningar enligt figur nedan:

                      b = 0,30 m;           b_w = 0,10 m

                      h = 1,20 m;           h_fl = 0,12 m;           h_f2 = 0,10 m;           h_f3 = 0,05 m;           h_f4 = 0,16 m

Balkhöjd vid ändsnitt:

                      där balkens lutning bestäms av                       

Längd med full bredd: l_b = 0,80 m från balkände, därefter I-tvärsnitt.

Möjlig placering av spännlinor:

Minsta täckande betongskikt för byglar (EK2 avsnitt 4.4.1.2):

                      Antag byglar ø_v = 12 mm

                      c_min = max{c_min,b, c_min,dur, 10 mm} = max{ø_v, 0, 10 mm} = 12 mm

                      Nominellt täckande betongskikt (EK2 avsnitt 4.4.1.1, 4.4.1.3):

                      c_nom = c_min + c_dev = 12 + 5 = 17 mm

Med hänsyn till kvalitetsåtgärder vid förtillverkning tillämpas här ett reducerat värde på måttavvikelse (EK2 avsnitt 4.4.1.3 (3)). Nominellt täckskikt bör dock vara en multipel av 5 mm.

                      Välj ø_v = 20 mm för byglar.

Minsta täckande betongskikt för spännlinor (EK2 avsnitt 4.4.1.2):

                      c_min = max{c_min,b, c_min,dur, 10 mm} = max{1,5*ø_v, 10 mm, 10 mm} = 1,5 * 13 = 20 mm

                      Nominellt täckande betongskikt (EK2 avsnitt 4.4.1.1, 4.4.1.3):

                      c_nom = c_min + c_dev = 20 + 5 = 25 mm

                      Med hänsyn till byglar måste spännlinornas täckskikt dock uppfylla

                      c ≥ c_v + ø_v = 20 + 12 = 32 mm

Avstånd mellan kant och centrum spännlina:

Avstånd mellan spännlinor (EK2 avsnitt 8.10.1.2):

                      Minsta fria avstånd mellan linor i samma lager:

                      max{d_g + 5, 2ø_p, 20 mm} = max{12 + 5, 2 * 13, 20 mm} = 26 mm

                      där d_g = 12 mm (ballastens största storlek)

                      Centrumavstånd mellan linor i samma lager:

                      Minsta fria avstånd mellan lager: max{d_g, 2ø_p} = max{12, 2 * 13} = 26 mm

                      Centrumavstånd mellan lager:

Antal spännlinor som ryms i ett lager:

 Högst 6 spännlinor ryms i ett lager.

Egentyngd:

                      Förenklat antas egentyngden verka som en jämnt utbredd last, baserat på tvärsnitt vid fjärdedelspunkten.

  g_b ≈ A_c * ρ_c = 0,166 * 25 = 4,15 kN/m

                      där ρ_c = 25 kN/m³ (egentyngd för betong inklusive armering)

Dimensionerande last i brottgränstillstånd:

                      Ekv (6.10a): q_d = 1,23g_b + 22,4 = 1,23 * 4,15 + 22,4 = 27,5 kN/m

                      Ekv (6.10b): q_d = 1,09g_b + 25,6 = 1,09 * 4,15 + 25,6 = 30,1 kN/m

                      Ekv (6.10b) avgörande: q_d = 30,1kN/m

Karakteristisk last i bruksgränstillstånd:      q_k = g_b + 19,8 = 4,15 + 19,8 = 24,0 kN/m

Frekvent last i bruksgränstillstånd:              q_f = g_b + 14,0 = 4,15 + 14,0 = 18,2 kN/m

Kvasipermanent last:                                   q_l = g_b + 8,3 = 4,15 + 8,3 = 12,4 kN/m

Preliminärt val av förspänningskraft

Kritiskt snitt: Det snitt där M( x ) / h( x ) är maximalt antas avgörande för karakteristisk last (sprickbildning vid dragen kant) och kvasipermanent last (normalspänning vid tryckt kant). I båda fallen uppkommer avgörande tillstånd efter lång tid (fullt utbildade tidsberoende effekter) eftersom förspänningseffekten minskar med tiden.

Tvärsnittshöjd h₀ vid teoretiskt upplag:

                      där l_s = upplagslängd 

Kommentar: Ovanstående uttryck kan härledas ur villkoret att M( x ) / h( x ) skall vara maximalt. Antag spännkraft efter lång tid P_∞ = ηP_i = 0,9P_i och att spännlinor kan placeras i två lager med lika många linor i varje.

Kritiskt tvärsnitt:

                      Tvärsnittskontanter för betongtvärsnitt utan hänsyn till armering:

                      A_c = 0,181 m²; I_c = 26,1*10^-3 m⁴; x_c = 0,542 m

                      Avstånd från kant till spännlinornas centrum:

                      Effektiv höjd:    d_p = h - a_p = 1,097 - 0,058 = 1,039 m

                      Spännkraftens excentricitet: e = d_p - x_c = 1,039 - 0,542 = 0,497 m

I preliminära beräkningar används bruttotvärsnittet utan hänsyn till armering. Enligt EK2 definieras spännkraft som aktuell kraft i spännstålet, se EK2 avsnitt 5.10.3.

Enligt EK2 5.10.9 skall möjlig variation av spännkraft beaktas vid beräkningar i bruksgränstillstånd. Detta görs genom tillämpning av övre och undre karakteristiska värden på spännkraft. När förspänningen har en gynnsam inverkan används undre karakteristiskt värde.

                      P_eff,i,k = r_inf * P_eff,i = 0,95 P_eff,i

                      där r_inf är en nationell parameter, enligt svensk NA tillämpas rekommenderat värde. 

Kommentar: Då lämpliga åtgärder vidtas (t.ex. direkta mätningar av förespänning) gäller r_inf = r_sup = 1,0.  I det följande tillämpas r_inf = 0,95 för att åskådliggöra principen med karakteristiska värden)

Erforderlig spännkraft med hänsyn till spänningsbegränsning vid karaktäristisk last:

Dimensionerande moment i kritiskt snitt x_crit:

Spänningsvillkor:

                      där η = faktor som beaktar långtidsförlust i preliminära beräkningar, med hänsyn till spännstål med låg relaxation antas η = 0,9.

Erforderlig spännkraft med hänsyn till spänningsbegränsning vid kvasipermanent last:

                      Dimensionerande moment i kritiskt snitt x_crit:

Spänningsvillkor:

Kommentar: Att beräknat värde är negativt innebär att tryckspänning i överkant inte är kritisk för långtidslast. Även om spännkraften är noll kommer inte tillåtet värde på maximal tryckspänning att överskridas.

Med hänsyn till spänningsbegränsningar i bruksskedet efter lång tid måste initiell spännkraft uppgå till minst 879 kN. Detta värde avser spännkraften definierad som kraft i spännstålet efter avspänning.

Anordning av spännlinor

Maximal stålspänning vid uppspänning (EK2 avsnitt 5.10.2.1(1)P):

                      σ_p,max = min{0,8 f_pk, 0,9 f_p0,1k} = min{0,8*1860, 0,9*1580} = min{1488,1422} = 1422 MPa

Välj stålspänning vid uppspänning: σ_pi = 1200 MPa

Erforderlig stålarea:

Välj 2 lager 6 + 2 ø13 mm spännlinor: A_pi = 100 mm²; A_p = 800 mm²

Spännstålets tyngdpunkt:

Val av initiell effektiv spännkraft: P_eff,i = σ_pi * A_p = 1200*10⁶ * 800*10^-6 = 960*10³ N

Kommentar: Den valda kraften avser här kraften i spännbädden. Den bör väljas något högre än beräknad initiell spännkraft som avser kraften i spännstålet efter avspänning.

Preliminär kontroll av spänningar vid avspänning

Ändsnitt:        x = 0 m; M_g = 0

                      Rektangulärt tvärsnitt: b = 0,30 m, h_end = 0,70 m

                      Tvärsnittskonstanter för betongtvärsnitt utan hänsyn till armering:

                      A_c = 0,210 m²; I_c = 8,58*10^-3 m⁴; x_c = 0,35 m

                      d = h_end - a_p = 0,70 - 0,048 = 0,652 m;

                      e = d - x_c = 0,652 - 0,35 = 0,302 m

I det följande kontrolleras ändsnittet preliminärt med antagande om full inverkan av spännkraft. Detta är på säker sida eftersom spännkraften överförs successivt utefter överföringssträckan. Syftet är nu att bedöma om tvärsnittet är tillräckligt stort i förhållande till vald spännkraft.

                      P_eff,i,k = r_sup * P_eff,i = 1,05 P_eff,i

                      där r_sup är en nationell parameter, enligt svensk NA tillämpas rekommenderat värde.

Kommentar: Då lämpliga åtgärder vidtas (t.ex. direkta mätningar av förespänning) gäller r_inf = r_sup = 1,0. I det följande tillämpas r_sup = 1,05 för att åskådliggöra principen med karakteristiska värden.

Dragspänning i överkant (beräknas under förutsättning av osprucket tvärsnitt)

                      (>> f_ctm,i = 2,9 MPa, tvärsnittet spricker vid avspänning)

Tryckspänning i underkant (beräknas under förutsättning av osprucket tvärsnitt)

                      (<|σ_cci,max| = 21 MPa)

Första snitt med I-tvärsnitt:

                      A_c = 0,146 m; I_c = 9,47*10^-3 m4; x_c = 0,371 m

                      d = h - a_p = 0,750 - 0,048 = 0,702m;

                      e = d - x_c = 0,702 - 0,371 = 0,331 m

Dragspänning i överkant (beräknas under förutsättning av osprucket tvärsnitt)

                      = -6,90 + 12,33 = 5,43 MPa

                      (>> f_ctm,i = 2,9 MPa, tvärsnittet spricker vid avspänning) 

Tryckspänning i underkant (beräknas under förutsättning av osprucket tvärsnitt)

                      = -6,90 - 12,60 = 19,5 MPa

                      (<|σ_cci,max| = 21 MPa)

Kommentar: Eftersom beräknad spänning vid tryckt kant inte är orimligt hög för osprucket tvärsnitt antas att det är möjligt att begränsa tryckspänningen till tillåtet värde även i sprucket tvärsnitt med hjälp av slak armering i sprucken zon.

Preliminär kontroll av momentkapacitet

Dimensionerande moment i kritiskt snitt x_crit:

Effektiv höjd: h = 1,097 m; d = h - a_p = 1,097 - 0,048 = 1,048 m

Inre hävarmen uppskattas som

                      där överflänsens höjd uppskattas som h_fl = h_f4 + 0,5 * h_f3 = 0,16 + 0,5 * 0,05 = 0,185 m

Uppskattning av momentkapacitet:

     M_Rd(x_crit) ≈ f_pd * A_p * z = 1374*10⁶ * 800*10^-6 * 0,956 = 1051*10³ Nm

Momentkapaciteten är tillräcklig.

Slutsats

Enligt preliminära beräkningar är en sadelbalk SIB/F/30/120 tillräcklig med hänsyn till kraven i brott- och bruksgränstillstånd. Med en initiell effektiv spännkraft av 960 kN påförd med hjälp av 8 spännlinor fördelade i 2 lager (6 + 2) bedöms balken vara sprickfri för karakteristisk last i bruksgränstillstånd. Maximal tryckspänning för långtidslast bedöms vara acceptabel. Vidare bedöms momentkapaciteten vara tillräcklig för dimensionerande last i brottgränstillstånd.

Det bedöms vara möjligt att med hjälp av kompletterande armering säkra balkens bärförmåga för tvärkraft, förankring och spjälkbrott samt funktion vid avspänning och lyft.

För vald geometri kommer balkens funktion att verifieras genom noggranna beräkningar och kompletterande armering kommer att dimensioneras.

Funktion vid avspänning och hantering

Begränsning av betongspänning vid avspänning

Betongspänning i underkant (tryckspänning) beräknas i ändsnitt samt första snitt med I-tvärsnitt under förutsättning att tvärsnitten är böjspruckna (stadium II). Detta är på säker sida eftersom spännkraften förs in successivt utefter överföringssträckan. Vid kontroll av spännkraftens inverkan på balkens funktion i bruksgränstillstånd bör karakteristiskt värde på spännkraft användas enligt EK2 avsnitt 5.10.9.

Spänningar beräknas noggrant utgående från effektiv spännkraft. Detta innebär att effektiv spännkraft förutsätts verka på ekvivalent betongtvärsnitt i stadium II varvid spännstålet viktas in i balktvärsnittet.

Kommentar: För förespända konstruktioner är det lämpligt att utgå från effektiv spännkraft P_eff, som definieras som kraften i spännstålet när betongspänningen på spännstålets nivå är noll. Initiell effektiv spännkraft P_eff,i överensstämmer med kraften i spännbädden omedelbart före avspänning, dvs. efter eventuell initiell relaxation av spännstålet i spännbädden. Begreppet effektiv spännkraft definieras inte i EK2, men en konsekvent beräkning utgående från spännkraft (= aktuell kraft i spännstålet) verkande på nettotvärsnittet (utan spännstål) ger samma beräkningsresultat.

Ändsnitt                      h_end = 0,70 m;                       b = 0,30 m

Ändsnittet förutsätts spricka vid avspänning, se avsnitt Preliminär kontroll av spänningar vid avspänning. I tvärsnittanalysen som följer definieras effektiva höjder och tyngdpunkt från den tryckta kanten. Den lokala lägeskoordinaten z har origo i det ekvivalenta tvärsnittets tyngdpunkt och är positiv i riktning mot den dragna kanten. Erforderlig dragarmering i överkant beräknas genom iteration. En armeringsmängd antas varefter betongspänning och stålspänning beräknas. Armeringsmängden är tillräcklig när funktionen är acceptabel med hänsyn till tillåten tryckspänning och sprickbredd i överkant.

När förspänningen har en ogynnsam inverkan används övre karakteristiskt värde.

                      P_i,k = r_sup * P_i = 1,1P_i

                      där r_sup är en nationell parameter, enligt bilaga NA tillämpas rekommenderat värde. 

Kommentar: Då lämpliga åtgärder vidtas (t.ex. direkta mätningar av förespänning) gäller r_inf = r_sup = 1,05. I det följande tillämpas r_sup = 1,05 för att åskådliggöra principen med karakteristiska värden.

Antag armering i överkant: 3 ø20 B500B                       A_s = 3 * 314 = 942 mm² 

                      c_min = max{c_min,b, c_min,dur, 10 mm} = max{ø, 0, 10 mm} = 20 mm

Nominellt täckande betongskikt (EK2 avsnitt 4.4.1.1, 4.4.1.3):

                      c_nom = c_min + c_dev = 20 + 5 = 25 mm

Täckande täckskikt till bygel blir avgörande, se avsnitt Val av balkhöjd och bestämning av balkgeometri, vilket ger effektiv höjd enligt

Spännstål: 8ø13 i två lager (6+2);                       A_p = 8 * 100 = 800 mm²;                        d_p = a_p = 0,048 m 

Förhållande mellan E-moduler (korttidslast, reducerad hållfasthet vid avspänning):

Betongspänningar beräknas genom iteration. Ekvivalent betongtvärsnitt i stadium II:

                      Antag tryckszonshöjd                      x = 0,25 m

                      e = d_p - x_II = 0,048 - 0,157 = -0,109 m

För kontroll beräknas betongspänningen i neutrala lagret, z = x - x_II = 0,25 - 0,157 = 0,093 m.

Vid rätt antagande på tryckzonshöjden skall betongspänningen i neutrala lagret vara 0.

Resultatet visar att tryckzonshöjden måste vara större än antaget värde 0,25 m. Efter iteration fås

                      x = 0,339 m                      A_II = 0,111 m²                      x_II = 0,190 m

                      e_II = -0,142 m;                  I_II = 2,35*10^-3 m⁴;                σ_cx = 0,022 MPa ≈ 0

Maximal tryckspänning beräknas vid tvärsnittets underkant:

Tillåten tryckspänning:                      σ_cci,max = 0,7 f_cki = 21 MPa (EK2 5.10.2.2(5))

Eftersom spänningen överskrider 0,45f_cki bör olinjär krypning beaktas.

Betongspänning på armeringens nivå:

Stålspänning:                      σ_s = α_si σ_csi = 6,06 * 19,5 = 118 MPa

För stålspänning mindre än ca 180 MPa och stångdiameter 20 mm bedöms karakteristisk sprickbredd vara mindre än 0,2 mm, se EK2 avsnitt 7.3.3, tabell 7.2N. Med inlagd överkantsarmering finns därför ingen risk för besvärande sprickbildning i överkant.

Kommentar: Med endast 2 ø20 i överkant överskrids tillåten tryckspänning i underkant (beräkningarna visas inte här).

Första snitt med I-tvärsnitt                      

Snittet förutsätts spricka vid avspänning. I tvärsnittanalysen definieras effektiva höjder och tyngdpunkt från den tryckta kanten.

Betongspänningar beräknas genom iteration för ekvivalent betongtvärsnitt i stadium II. Tryckzonshöjd och tvärsnittskonstanter bestäms genom iteration. Vid antagande om att neutrala lagret hamnar i livet mellan flänsarna fås följande lösning efter iteration.

                      x = 0,448 m

                      e_II = d_p - x_II = -0,147 m

Maximal tryckspänning beräknas vid tvärsnittets underkant

Tillåten tryckspänning                      σ_cci,max = 0,7 f_cki = 21 MPa (EK2 5.10.2.2(5)

Eftersom spänningen överskrider 0,45f_cki bör olinjär krypning beaktas.

Betongspänning på armeringens nivå:

Stålspänning:                       σ_s = α_si σ_csi = 6,06 * 11,8 = 71,2 MPa

Kontroll av spänning i spännstål före och efter avspänning

Vid beräkning och kontroll av spänning hos spännstål används medelvärde för spännkraft (här medelvärde för effektiv spännkraft). Medelvärdet skall också användas vid beräkning i brottgränstillstånd.

Tillåten stålspänning vid uppspänning (EK2 avsnitt 5.10.2.1):

                      σ_pi,max = min{0,8f_puk, 0,9f_p0,1k} = 1422 MPa

Vald stålspänning vid uppspänning:

Tillåten stålspänning efter avspänning (EK2 avsnitt 5.10.3 (2)):

                  σ_pi,max = min{0,75f, 0,85f_p0,1k} = min{0,75*1860, 0,85*1580} = min{1395, 1343} = 1343 MPa

Ändsnitt

Tvärsnittet analyseras i stadium II på samma sätt som i avsnitt Begränsning av betongspänning vid avspänning, men med medelvärde för effektiv spännkraft. Den ändrade förutsättningen ger ingen märkbar förändring av tvärsnittskonstanterna.

Stålspänning i spännstål omedelbart efter avspänning:

                      Betongspänning på spännstålets nivå z = e_II = -0,142 m

Stålspänningen är något högre i övre lagret z = d_p2 - x_II = 0,078 - 0,190 = -0,112 m

Första snitt med I-tvärsnitt

Tvärsnittet analyseras i stadium II på samma sätt som i avsnitt Begränsning av betongspänning vid avspänning, men med medelvärde för effektiv spännkraft. Den ändrade förutsättningen ger en liten förändring av tvärsnitts-konstanterna.

Stålspänning i spännstål omedelbart efter avspänning:

                      Betongspänning på spännstålets nivå z = e_II = -0,147 m

Stålspänningen är något högre i övre lagret z = d_p2 - x_II = 0,078 - 0,195 = -0,117 m

Tillåten stålspänning bedöms inte överskridas någonstans i balken. 

Beräkning av överföringssträcka och spridningslängd

Överföringssträcka och spridningslängd beräknas enligt EK2 avsnitt 8.10.2.2.

Vidhäftningsspänning fbpt inom överföringssträckan (antas vara jämnt fördelad):

 f_bpt = η_p1 η₁ f_ctd(t)

                      där η_p1 = 3,2                        (7-trådig spännlina)

                             η₁ = 1,0                      (goda vidhäftningsförhållanden, se EK2 avsnitt 8.4.2)

                             f_ctm(t) avser betongens medeldraghållfasthet vid tidpunkten för avspänning (motsvarar hållfasthetsklass C30/37)

f_bpt = 3,2 * 1,0 * 1,35 = 4,33 MPa

Överföringssträcka, grundvärde:

                      där          α₁ = 1,0 (långsam avspänning)

                                 α₂ = 0,19 (7-trådig spännlina)

                      Stålspänning i ändsnitt omedelbart efter avspänning, se avsnitt Kontroll av spänning i spännstål före och efter avspänning

                      σ_pm0 = σ_pi = 1100 MPa

Dimensioneringsvärden                      l_pt1 = 0,8 * l_pt = 0,8 * 0,628 = 0,502 m

                                                        l_pt2 = 1,2 * l_pt = 1,2 * 0,628 = 0,753 m

Spridningslängd:                                 

                                                            där d = h - a_p = 0,70 - 0,048 = 0,652 m (för ändsnitt)

Kommentar: Spridningslängden motsvarar utsträckningen av den diskontinuitetszon som är en följd av koncentrerat lastangrepp (från spännkraft). Eftersom spännkraften överförs successivt till betongen genom vidhäftningsspänningar inom överföringssträckan får diskontinuitetszonen en större utbredning jämfört med det fall då motsvarande koncentrerad last angriper direkt på balkänden. Jämför med huvuddel 1, avsnitt 5.6.4.

Kontroll av funktion i samband med lyft

Balkens funktion vid lyft och hantering bör kontrolleras i bruksgränstillstånd med avseende på tillåtna spänningar och sprickbredd, samt i brottgränstillstånd med avseende på bärförmåga (tillförlitlighet). För element som lagras utomhus kan det vara lämpligt att begränsa sprickbredder till ca 0,2 mm. Vid lyft, lagring och transport kan stödpunkternas (och lyftpunkternas) lägen variera, vilket innebär att olika längder kan förekomma på utkragande delar. Lyft och transport kan också ge dynamiska effekter som bör beaktas. Beräkningar visas inte i detta exempel.

Funktion i bruksstadiet med hänsyn till tidsberoende effekter

Bestämning av betongens krympning

Krympning bestäms enligt EK2 avsnitt 3.1.4(6). Inomhuskonstruktion, RH ≈ 80%. Ekvivalent tjocklek h₀ beräknas för tvärsnitt i fjärdedelspunkten och antas konstant i hela balken.

                      där u = 2,71 m (tvärsnittets omkrets)

Slutlig krympning:                      ε_cs(∞) = ε_cd(∞) + ε_ca(∞)

Uttorkningskrympning:               ε_cd(∞) = k_h * ε_cd,0

                                                   där:

                                          ε_cd(∞) = 0,966 * 0,228*10^-3 = 0,220*10^-3

Autogen krympning:                   ε_ca(∞) = 2,5(f_ck - 10)*10^-6 = 2,5(45-10)*10^-6 = 0,0875*10^-6

Total krympning, slutligt krympmått:

             ε_cs(∞) = ε_cd(∞) + ε_ca(∞) = 0,220*10^-3 + 0,0875*10^-3 = 0,307*10^-3

Bestämning av betongens kryptal

Eftersom betontryckspänningen vid avspänning överskrider 0,45f_cki bör olinjär krypning beaktas. Denna fås som en korrigering av kryptalet vid linjär krypning.

Slutligt kryptal vid linjär krypning kan uppskattas antingen genom diagram enligt EK2 avsnitt 3.1.4 eller noggrannare med hjälp av EK2 Bilaga B avsnitt B.1 (1). I det följande tillämpas bilagan.

              φ(∞, t₀) = ø_RH * β(f_cm)β(t₀)

                      Medeltryckhållfasthet     f_cm = f_ck + 8 MPa = 45 + 8 = 53 MPa                      (EK2 avsnitt 3.1.2)

                      För betong med f_cm > 35 MPa beräknas ø_RH som

Kommentar: Tiden t₀ motsvarar betongens ålder då spänningen påförs. Tiden fram till på-lastning bör bestämmas som den ekvivalenta tid som ger samma mognad som vid härdning under konstant referenstemperatur 20^oC. Ekvivalent tid kan avläsas i huvuddel 1, tabell 3-1 som den tid den aktuella betongen med hållfasthetsklass C45/55 når en hållfasthet som motsvarar betong C30/37, SH-cement förutsätts. Notera att tabell visar kubhållfasthet för respektive hållfasthetsklass. I det aktuella fallet fås en ekvivalent tid av ca 2 dygn.

Kommentar: Vid värmehärdning med ett känt temperaturförlopp kan ekvivalent tid bestämmas med hjälp av EK2 Bilaga B, ekvation (B.10). Se även EK 2 avsnitt 10.3.1.1(3).

För cement av klass R skall tiden justeras innan faktorn (t₀) bestäms.

                      där t₀,T motsvarar ekvivalent tid

Slutligt kryptal vid linjär krypning:

               φ(∞, t₀) = 1,61 * 2,31 * 0,649 = 2,42

Alternativt kan kryptalet uppskattas med hjälp av Figur 3.1 i EK2 avsnitt 3.1.4. Detta ger ett kryptal φ(∞, t₀) ≈ 2,4.

Inverkan av olinjär krypning (EK2 avsnitt 3.1.4 (4)):

               φ_k(∞, t₀) = φ(∞, t₀) * exp[1,5(k_σ - 0,45)]

                     där  

               φ_k(∞, t₀) = 2,42 * exp[1,5(0,544 - 0,45)] = 2,78

Här har tryckspänningen vid ändsnitt tagits som utgångspunkt för beräkningen, se avsnitt Begränsning av betongspänning vid avspänning. Detta är den största tryckspänningen i balken direkt efter avspänning. Det bör kontrolleras att tryckspänningen i kritiskt snitt inte blir större direkt när långtidslasten läggs på.

Bestämning av spännstålets relaxation

Spännstålets relaxation bestäms enligt EK2 avsnitt 3.3.2.

Spännstål, relaxationsklass 2 (lågrelaxerande spännlina) (EK2 avsnitt 3.3.2 (4))

                      Referensrelaxation (EK2 avsnitt 3.3.2 (6)): ρ₁₀₀₀ = 0,025 

Relaxationsförlust för spännstål relaxationsklass 2 beräknas enligt

För förespänd betong avser σ_pi stålspänningen i spännbädden efter initiella förluster under uppspänningen, t.ex. ankarglidning.

                      t = 500 000 h (för relaxation efter lång tid, se EK2 avsnitt 3.3.2 (9))

                σ_pr = 0,0306 * σ_pi = 0,0306 * 1200 = 36,7 MPa

Kommentar: Tiden 500 000 h motsvarar ca 57 år.

Kommentar: Vid värmehärdning kan det bli aktuellt att beakta spännförlust på grund av förhindrad temperaturrörelse. Denna effekt får försummas om spännlinorna förvärms, se vidare EK2 avsnitt 10.5.2. I detta exempel har förutsatts att värmehärdning inte ger upphov till spännförlust.

Kontroll av kritiskt snitt för långtidslast

Tvärsnittet analyseras först noggrant för långtidslast utan hänsyn till långtidseffekter. Därmed bestäms betongspänningen på spännstålets nivå direkt när långtidslasten läggs på. Denna spänning används för att beräkna långtidsförlust med hänsyn till krympning, krypning och relaxation. Därefter kan tvärsnittet analyseras för långtidslast efter lång tid.

Korttidsrespons

Tvärsnittskonstanter A_c, x_c, I_c för betongtvärsnitt (i kritiskt snitt) utan hänsyn till armering beräknades i avsnitt Preliminärt val av förspänningskraft. Tvärsnittskonstanter beräknas nu för ekvivalent osprucket betongtvärsnitt inklusive armering (stadium I), 28-dygnshållfasthet.

                      Förhållande mellan E-moduler (korttidslast):

                      h = 1,097 m;                      d_p = h - a_p = 1,097 - 0,048 = 0,048 m;                      

                      A_I = A_c + (α_pi - 1)A_p + (α_s-1)A_s = 0,181 + (5,42 - 1) * 800*10^-6 + (5,56 - 1) * 942*10^-6 = 0,189 m²

                      I_I = I_c + A_c(x_c-x_I)² + (α_pi - 1)A_p(d_p-x_I)² + (α_si-1)A_s(d_s-x_I)² = 28,0*10^-3 m⁴

                      e_I = d_p - x_I = 0,508 m

Moment i kritiskt snitt på grund av långtidslast:

                      där x_crit = 6,14 m

Betongspänning på spännstålets nivå (baserat på spännkraftens medelvärde):

Spännkraft (= aktuell kraft i spännstålet):                      P_i = σ_pi A_p = 1160*10⁶ * 800*10^-6 = 928*10³ N

Kommentar: Spännkraften enligt ovan är kraften i stålet när betongen på spännstålets nivå är tryckt på grund av långtidslast. Detta är således inte detsamma som ”effektiv spännkraft”.

Långtidsförlust

Långtidsförlust bestäms enligt EK2 avsnitt 5.10.6.

                      där z_cp = e_c = d_p - x_c = 1,048 - 0,542 = 0,507 m

Detta innebär att spännkraften (= aktuell kraft i spännstålet) efter lång tid, när långtidslasten verkar konstant (kvasipermanent) blir

                      P_∞ = P_i - P = 928 - 132 = 796 kN

Långtidsrespons

I det följande beräknas spänningar noggrant utgående från aktuell kraft i spännstålet, dvs. inte effektiv spännkraft. Kraften i spännstålet betraktas då som en yttre last som verkar på det armerade betongtvärsnittet (nettotvärsnitt utan spännstål). Tvärsnittskonstanter beräknas för ekvivalent betongtvärsnitt i stadium I varvid ospänd armering viktas med faktorn (α_s,ef - 1) med hänsyn till betongens krypning. För kontroll av balkens funktion bör karakteristiskt värde på spännkraften tillämpas.

Kommentar: Med hänsyn till modellen för långtidsförlust i EK2 är det inte möjligt att enkelt relatera spänningen i spännstålet till betongens spänning på spännstålets nivå. Därför kan inte spännstålet viktas in i ekvivalent tvärsnitt genom en viktningsfaktor α_ef.

Tvärsnittskonstanter för ekvivalent betongtvärsnitt osprucket (stadium I), utan spännstål men inklusive slakarmering, långtidsrespons:

                      A_I,net,ef = A_c - A_p + (α_s,ef - 1)A_s = 0,181 - 800*10^-6 + (21,0 - 1) * 942*10^-6 = 0,199m²

I_I,net,ef = I_c + A_c(x_c - x_I,net,ef)² - A_p(d_p - x_I,net,ef)² + (α_s,ef - 1)A_s(d_s - x_I,net,ef)² = 30,1*10^-3 m⁴

                      e_I,net,ef = d_p - x_I,net,ef = 0,556 m

Betongspänning i underkant

                      < σ_ct,max = f_ctk0,05 = 2,7 MPa                      Ingen risk för sprickbildning.

Betongspänning i överkant

                      > -|σ_cc,max| = -20,3 MPa                      OK

Effektiv spännkraft efter lång tid

Betongspänning på spännstålets nivå vid långtidslast (baserat på spännkraftens medelvärde):

Aktuell stålspänning:                      

Effektiv spännkraft definieras som kraften i spännstålet när betongspänningen på spännstålets nivå är noll. Detta tillstånd uppkommer för en tänkt pålastning med korttidslast så att betongspänningen på stålets nivå ökar med 5,51 MPa. Vid fullständig samverkan ökar spänningen i spännstålet med α_p (korttidsvärde) gånger så mycket. Effektiv spännkraft kan således beräknas som

                      P_eff,∞ = P_∞ + α_p|σ_cp∞|A_p = 796*10³ + 5,42 * 5,51*10⁶ * 800*10^-6 = 820*10³ N

Kontroll av kritiskt snitt för karakteristisk last efter lång tid

Karakteristisk last läggs på efter lång tid vilket är den ogynnsammaste förutsättningen. Lastfallet ger en blandad respons med långtids- och korttidsandelar. Eftersom tvärsnittet är osprucket kan de olika lastfallen superponeras. För korttidsrespons fordras tvärsnittskonstanter för nettotvärsnitt utan spännstål.

Tvärsnittskonstanter för ekvivalent betongtvärsnitt osprucket (stadium I), utan spännstål, korttidsrespons:

                      A_I,net = A_c - A_p + (α_s - 1)A_s = 0,181 - 800*10^-6 + (5,56 - 1) * 942*10^-6 = 0,184 m²

                      x_I,net = 0,528 m;                     I_I,net = 26,9*10^-3 m⁴;                     e_I,net = d- x_I,net = 0,520 m

Moment i kritiskt snitt på grund av karakteristisk last                      x_crit = 6,14 m

Uppskattning av spännkraftens ökning på grund av elastisk deformation när momentet ökar

Antag P_el = 26 kN (eftersom spännkraften ökar dämpas inverkan av lastökningen)

Betongspänning i underkant

                        < σ_ct,max = f_ctk0,05 = 2,7 MPa                Obetydlig risk för sprickbildning

Betongspänning i överkant

                      > -|σ_cc,max| = -20,3 MPa                      OK

Kontroll av antagen spännkraftökning:

σ_cp∞ = -5,51 MPa (för långtidslast efter lång tid)

P_el = α_pi(σ_cp - σ_cp∞)A_p = 5,42 * (0,563 + 5,51)*10⁶ * 800*10^-6 = 26,3*10³ N                      OK

Effektiv spännkraft efter lång tid i olika snitt i balken

Effektiv spännkraft efter lång tid får olika värden i olika snitt utefter balken beroende på att betongspänningen på spännstålets nivå varierar. Beräkningarna genomförs på samma sätt som för kritiskt snitt, se avsnitt Kontroll av kritiskt snitt för karakteristisk last efter lång tid.

Resultaten sammanfattas nedan i form av betongspänning på spännstålets nivå omedelbart efter att långtidslasten läggs på (korrtidsrespons), motsvarande kraft i spännstålet, långtidsförlust, kraft i spännstålet för långtidslast efter lång tid samt effektiv spännkraft efter lång tid.

Snitt	ändsnitt	x = 1,0 m	x = 2,0 m	x = 3,0 m	x = 4,0 m	x = 6,14 m	x = 8,0 m
σcpi [MPa]	17,2	13,6	11,2	9,13	7,47	7,40	7,36
Pi [kN]	886	901	912	920	928	928	928
P [kN]	249	187	165	146	129	132	133
Pi - P	637	714	747	774	799	796	795
Peff,∞ [kN]	764	762	786	807	824	820	821

Dimensionering för brottgränstillstånd

Beräkning av momentkapacitet

Momentkapaciteten beräknas noggrant för kritiskt snitt, enligt principerna i EK2 avsnitt 6.1.

Tvärsnittsgeometri och inplacering av armering

                      h = 1,097 m

                      A_p1 = 6 * A_pi = 6 * 100 mm² = 600 mm²                      d_p1 = h - s_e = 1,097 - 0,039 = 1,058 m

                      A_p2 = 2 * A_pi = 2 * 100 mm² = 200 mm²                      d_p2 = d_p1 - s_v = 1,058 - 0,039 = 1,019 m

                      A_s = 3 * A_si = 3 * 314 mm² = 942 mm²

Dimensionerande arbetskurva för spännstål

Välj arbetskurva med lutande övre gren och töjningsbegräsning enligt EK2 avsnitt 3.3.6, figur 3.10.

Gren 1:          σ_p = E_p * ε_p = 195*10⁹ ε_p                      för ε_p ≤ ε_py

Gren 2:          

                                                                                  för ε_py ≤ ε_p ≤ ε_pud

Kommentar: I det aktuella fallet finns egentligen ingen anledning att välja arbetskurva med lutande övre gren eftersom den preliminära beräkningen i avsnitt Preliminär kontroll av momentkapacitet antyder att tvärsnittet med god marginal har tillräcklig kapacitet. Här väljs dock detta alternativ för att visa förfarandet.

Dimensionerande arbetskurva för armeringsstål

För ordinarie armering väljs arbetskurva med horisontell övre gren utan töjningsbegräsning enligt EK2 avsnitt 3.2.7, figur 3.8.

Dimensionerande arbetskurva för betong

För betong väljs förenklad beräkningsmetod med rektangulärt tryckblock enligt EK2 avsnitt 3.1.7, figur 3.5. För betong C45/55 gäller

                      λ = 0,8         η = 1,0                 brottstukning:           ε_cu = ε_cu3 = 3,5*10^-3

Förspänningstöjning i brottgränstillstånd

Enligt EK2 avsnitt 6.1 skall spännstålets ”initialtöjning” beaktas vid bestämning av spänning, dvs. stålspänningen. Av figur 6.1 framgår att det är spännstålets töjning i förhållande till betongens töjning som avses, dvs. töjningsskillnaden. För spännkraft används dimensioneringsvärde i brottgränstillstånd enligt EK2 5.10.8 med partialkoefficient enligt 2.4.2.2. Denna är nationell parameter, enligt bilaga NA används rekommenderat värde.

Kommentar: Töjningsskillnaden mellan spännstål och omgivande betong kan enkelt bestämmas med hjälp av effektiv spännkraft. Eftersom töjningsskillnaden har en gynnsam inverkan bör man utgå från effektiv spännkraft efter lång tid. Begreppet ”initialtöjning” i EK2 bör tolkas som töjning på grund av förspänning (innan brottlasten läggs på) och inte som initiell töjningsskillnad.

Tvärsnittsanalys, antag betongen avgörande

Antag att spännstålet har nått flytning (gren 2), att tryckarmeringen flyter och att betongens krossning är avgörande för brottet. Vidare antas att tryckzonshöjden är mindre än överflän-sens rektangulära del, dvs. mindre än 0,16 m.

Villkor om horisontell jämvikt ger:

                   ηf_cd * b * λx + σ_s * A_s = σ_p1 * A_p1 + σ_p2 * A_p2

Töjningsrelationer:

Insättning ger:

                      Kontroll:                       

Tillåten ståltöjning överskrids och tvärsnittet måste analyseras under förutsättning att ståltöjningen är avgörande.

Tvärsnittsanalys, antag spännstålet avgörande

Stålspänning då tillåten ståltöjning uppnås:                       ε_p1 = ε_pud = 31,5*10^-3

                   σ_p1 = 1313*10⁶ + 8,69*10⁹ ε_p1 = 1313*10⁶ + 8,69*10⁹ * 31,5*10^-3 = 1587*10⁶ Pa

Betongstukningen i överkant blir mindre än stukgränsen. Övriga ståltöjningar relateras därför till den kända ståltöjningen i undre lagret. Vidare antas att tryckarmeringen inte flyter.

Villkor om horisontell jämvikt ger:

                      Kontroll:

                      σ_s = E_s * ε_s = 200*10⁹ * 2,16*10^-3 = 433*10⁶ Pa

                      σ_p2 = 1313*10⁶ + 8,69*10⁹ * 30,4*10^-3 = 1577*10⁶ Pa

                      > M_Ed = 874 kNm                      OK                      (enligt avsnitt Preliminär kontroll av momentkapacitet)

Betongstukning i överkant:

Kommentar: Momentkapaciteten är ca 20 % högre jämfört med preliminär kontroll enligt avsnitt Preliminär kontroll av momentkapacitet, främst beroende på att spännstålets hållfasthet utnyttjas fullt ut.

Kommentar: Metoden med förenklat tryckblock förutsätter egentligen att tryckblocket är fullt utbildat, dvs. att brottstukningen nås. I det aktuella fallet är stukningen i tvärsnittets överkant dock så stor att beräkningsresultatet inte påverkas nämnvärt. En noggrann beräkning med hänsyn till arbetskurvans form och aktuell töjningsfördelning över tryckzonen ger i det aktuella fallet exakt samma resultat.

Kontroll med avseende på livskjuvbrott

Enligt EK2 avsnitt 6.2.2(2) får livskjuvbrottets kapacitet tillgodoräknas, i förspända konstruktionsdelar som är fritt upplagda i ett spann, inom de områden som kan anses sakna böjsprickor. Snitt där beräknad böjspänning underskrider dimensionerade draghållfasthet i brottgränstillstånd får betraktas som ospruckna.

Det snitt där draghållfastheten precis uppnås bestäms genom iteration. För beräkning i brottgränstillstånd används effektiv spännkraft efter lång tid med partialkoefficient enligt EK2 avsnitt 2.4.2.2.

Dimensionerande draghållfasthet:                       f_ctd = 1,80 MPa

Efter iteration framkommer att draghållfastheten precis uppnås i snitt x_cr = 2,87 m 

Dimensionerande moment i brottgränstillstånd:

Tvärsnittskonstanter fås som:

                      A_c = 0,160 m²                      x_c = 0,441 m                      I_c = 15,1*10^-3 m⁴

                      e_c = d_p - x_c = 0,403 m

Effektiv spännkraft uppskattas med hjälp av tabell i B1.4.7 till                       P_eff,∞ ≈ 800 kN

Böjdragspänning:

Inom området från upplag till snittet x_cr = 2,87 m får livskjuvbrottets kapacitet tillgodoräknas. Inom övriga delar måste sneda sprickor förutsättas och balken kontrolleras med avseende på böjskjuvbrott.

Livskjuvbrottet kontrolleras i ett snitt x₁ som bestäms av tyngdpunktsaxelns skärning med en rät linje i 45^o vinkel från upplagets kant, EK2 avsnitt 6.2.2(3). Upplaget antas utgöras av ett 100 mm brett mellanlägg i centrum av den stödjande bärverksdelen. Koordinaten för kritiskt snitt beräknas genom att sätta ekvationerna för de två linjerna lika varandra.

Detta är inom den del där balken har rektangulärt tvärsnitt

Avstånd från balkände till kritiskt snitt:                      

Effektiv spännkraft uppskattas med hjälp av tabell i B1.4.7 till P_eff,∞ ≈ 760 kN

Livskjuvbrottets kapacitet:                      

Tvärsnittskonstanter:

Inverkan av lutande tryckresultant, EK2 avsnitt 6.2.1, se även huvuddel 1, avsnitt 6.2.2):

Detta bidrag kan beaktas antingen genom att reducera dimensionerande tvärkraft eller genom att öka tvärkraftskapaciteten. Tvärkraftskapaciteten med hänsyn till livskjuvbrott är tillräcklig.

Livskjuvbrottets kapacitet kontrolleras även i snitt x₂ inom delen med I-tvärsnitt. Även här antas att kritisk punkt finns på skärningspunkten mellan tyngdpunktsaxeln och en rät linje i 45^o lutning från balkens underkant vid livövergången.

Avstånd från balkände till kritiskt snitt:                      

Effektiv spännkraft uppskattas med hjälp av tabell i B1.4.7 till P_eff,∞ ≈ 760 kN

Tvärsnittskonstanter:

                      A_c = 0,148 m²                      x_c = 0,382 m                      I_c = 10,3*10^-3 m⁴

                      S_c = 18,0*10^-3 m⁴               b_w = 0,10 m

Inverkan av lutande tryckresultant:

                      V_Ed - V_ccd = 205 - 20,8 = 184 kN < V_Rd,c = 202 kN

Tvärkraftskapaciteten med hänsyn till livskjuvbrott är tillräcklig även här. Detta innebär att inom området som får antas sakna böjsprickor i brottgränstillstånd erfordras inte statiskt verksam tvärkraftsarmering. Däremot bör minimiarmering läggas in.

Kontroll med avseende på böjskjuvbrott

Inom böjsprucken del måste sneda böjskjuvsprickor förutsättas. Tvärkraftskaciteten utan tvärkraftsarmering beräknas enligt EK2 avsnitt 6.2.2. Tvärkraften i ett snitt på avståndet 0,9d från första böjsprickan antas vara dimensionerande för böjsprucken del. Förskjutningen 0,9d be-stäms av den sneda sprickans horisontella projektion.

Kommentar: Enligt EK2 6.2.1(8) är det inte nödvändigt att kontrollera tvärkraften inom ett avstånd d från upplagets kant om lasten huvudsakligen utgörs av fördelad last. Detta kan förklaras genom ett betraktelsesätt med sneda skjuvsprickor i ungefär 45^o lutning. Uttrycket för livtryckbrott (övre gräns för tvärkraftskapacitet) i bärverksdel utan tvärkraftsarmering bygger på samma förutsättning, dvs. sneda trycksträvor i 45^o lutning. Dragkraftens tillskott på grund av sneda skjuvsprickor enligt EK2 6.2.2(5) förutsätter dock en flackare lutning, vilket är ett konservativt antagande för dimensionering av förankringszoner. I det följande tillämpas ett synsätt med sneda skjuvsprickor i 45^o lutning och motsvarande förskjutning av 0,9d.

Tvärsnittskonstanter:

                      A_c = 0,165 m²                      b_w = 0,10 m

Tvärkraftskapacitet utan tvärkraftsarmering:

                      V_Rd,c = [C_Rd,c * k(100 * ρ₁ * f_ck)^1/3 + k₁σ_cp]b_w * d

                      dock minst                      V_Rd,c = [ν_min + k₁σ_cp]b_w * d

Effektiv spännkraft uppskattas med hjälp av tabell i B1.4.7 till P_eff,∞ ≈ 815 kN

                      V_Rd,c = [0,12 * 1,47(100 * 8,95*10^-3 * 45)^1/3 + 0,15 * 4,93]0,10 * 0,894 = 120 kN

                      ν_min = 0,035 * k^3/2 * f_ck^1/2 = 0,035 * 1,47^3/2 * 45^1/2 = 0,420 MPa

                      V_Rd,c,min = [ν_min + k₁σ_cp]b_w * d_p = (0,420 + 0,15 * 4,93)0,10 * 0,894 = 104 kN

                      Dimensionerande tvärkraft:

Inverkan av lutande tryckresultant, EK2 avsnitt 6.2.1, se även huvuddel 1, avsnitt 6.2.2):

                      V_Ed - V_ccd = 124 - 51,2 = 72,8 kN < V_Rd,c = 104 kN

Tvärkraftskapaciteten utan tvärkraftsarmering är tillräcklig.

Dimensionering av tvärkraftsarmering (minimiarmering)

Balkar bör enligt EK2 avsnitt 6.2.1(4) alltid förses med en minsta mängd tvärkraftsarmering som beräknas enligt avsnitt 9.2.2(5). Välj vertikala enskäriga enheter ø6 B500B.

                      vilket med vald armering motsvarar:                      

Maximalt centrumavstånd, enligt EK2 9.2.2(6)                      s_l,max = 0,75d(1+cot α)

För minsta balkhöjd                      d₀ = h₀ - a_p = 0,713 - 0,048 = 0,664 m

                                                     s_l,max = 0,75 * 0,664 = 0,498 m

Hela balken förses med minimarmering i form av enskäriga byglar ø6 B500B s260 mm.

Kontroll med avseende på livtryckbrott

Övre gräns för bärförmåga kontrolleras dels vid upplag för område med rektangulärt tvärsnitt, dels vid övergången mellan rektangulärt tvärsnitt och I-tvärsnitt.

Upplagssnitt

För område utan statiskt verksam tvärkraftsarmering beräknas övre gräns för bärförmåga enligt EK2 6.2.2(5).

                      h₀ = 0,713 m                     d_p = h₀ - a_p = 0,713 - 0,048 = 0,664 m

                      V_Rd,max = 0,5 * 0,30 * 0,664 * 0,492 * 30*10⁶ = 1471*10³ N > V_Ed

I detta snitt fås inget bidrag från lutande tryckkraft eftersom böjande momentet är noll.

Första snitt med I-tvärsnitt

                      V_Rd,max = 0,5 * 0,10 * 0,702 * 0,492 * 30*10⁶ = 518*10³ N > V_Ed

                      där b_w = 0,10 m

Inverkan av lutande tryckresultant, EK2 avsnitt 6.2.1

Detta bidrag kan beaktas antingen genom att reducera dimensionerande tvärkraft eller genom att öka tvärkraftskapaciteten. Tvärkraftskapaciteten med hänsyn till livtryckbrott är tillräcklig i hela balken.

Kontroll av förankring

Den dragkraft som skall förankras bör enligt EK2 avsnitt 8.10.2.3 bestämmas i det snitt där beräknad dragspänning i brottgränstillstånd uppnår f_ctk0,05. Dragkraften beräknas för böjsprucket tvärsnitt och inverkan av sneda sprickor bör beaktas.

Lägre karakteristisk draghållfasthet                      f_ctk0,05 = 2,70 MPa

Efter iteration framkommer att draghållfastheten precis uppnås i snitt x_cr = 3,19 m

Dimensionerande moment i brottgränstillstånd:

Tvärsnittskonstanter fås som:

                      A_c = 0,162 m²;                      x_c = 0,450 m                      I_c = 16,0*10^-3 m⁴

                      e_c = d_p - x_c = 0,413 m

Effektiv spännkraft uppskattas med hjälp av tabell i B1.4.7 till P_eff,∞ ≈ 800 kN

Böjdragspänning:

Dimensionerande dragkraft skall bestämmas med hänsyn till inverkan av sneda sprickor. Enligt EK2 avsnitt 6.2.2(5), se även 9.2.1.3(2), kan detta uppskattas genom att förskjuta teoretisk dragkurva sträckan a_l = d. Detta motsvarar ett dragkraftstillskott av F_td =1,11 V_Ed

Kommentar: Sambandet mellan dragkraftstillskott F_td och förskjutning a_l av teoretisk dragkraftskurva kan generellt uttryckas som

                                           för det aktuella fallet fås då:                      

Dragspänning i spännstål:                      

Erforderlig förankringslängd enligt EK2 avsnitt 8.10.2.3:

                      l_pt2 = 0,753 m;                      α₂ = 0,19                      (enligt avsnitt Beräkning av överföringssträcka och spridningslängd)

                                       (beräknas för ändsnitt)

                      f_bpd = η_p2 * η₁ * f_ctd = 1,2 * 1,0 * 1,8 = 2,16 MPa

                      där                      η_p2 = 1,2                      (7-trådig spännlina)

                                                 η₁ = 1,0                       (goda vidhäftningsförhållanden, EK2 8.10.2.2)

Förankringen behöver inte kontrolleras där beräknad dragspänning är mindre än f_ctk0,05.

Dimensionering av spjälkarmering i ändzon

Utbredningen av diskontinuitetszonen (= spridningslängden) kan bestäms enligt EK2 avsnitt 8.10.2.2(4). Med hänsyn till spjälkeffekter är en kort överföringssträcka ogynnsam varför det undre värdet lpt1 enligt avsnitt Beräkning av överföringssträcka och spridningslängd används i beräkningen.

Motsvarade snitt:

                      där l_s = upplagslängd

Från och med detta snitt kan en rätlinjig töjningsfördelning förutsättas. Det infaller i delen med I-tvärsnitt och mycket nära övergången mellan rektangulärt tvärsnitt och I-tvärsnitt. Det är uppenbart att tvärsnittet spricker vid avspänning, se avsnitt Preliminär kontroll av spänningar vid avspänning. Spjälkarmeringen dimensioneras därför baserat på en spänningsfördelning i stadium II. I tvärsnittanalysen definieras effektiva höjder och tyngdpunkt från den tryckta kanten. Förspänningen har en ogynnsam inverkan vilket beaktas vid beräkning av dimensionerande spännkraft i brottgränstillstånd (XXXp = 1,2).

Effektiv höjd:

                      d_p = a_p = 0,048 m

Moment av egentyngd:

Betongspänningar beräknas för ekvivalent betongtvärsnitt i stadium II. Tryckzonshöjd och tvärsnittskonstanter bestäms genom iteration. Vid antagande att neutrala lagret hamnar i livet mellan flänsarna fås följande lösning efter iteration (jfr med beräkning av I-tvärsnitt i avsnitt Preliminär kontroll av spänningar vid avspänning).

                      x = 0,439 m                      A_II = 0,0875 m²                      x_II = 0,192 m

                      e_II = d_p - x_II = -0,143 m                      I_II = 2,74*10^-3 m⁴

Maximal tryckspänning beräknas vid tvärsnittets underkant:

Betongspänning på spännstålets nivå:

Beräknad betongspänning på armeringens nivå (fiktivt värde i böjsprucket tvärsnitt):

Armeringsspänning och dragkraft i armeringen blir:

σ_s = α_siσ_csi = 6,06 * 13,7 = 83,1 MPa                      F_s = σ_s * A_s = 83,1*10⁶ * 942*10^-6 = 78,3*10³ N

Den totala tryckkraften som verkar på betongtvärsnittet kan beräknas som

                      F_c = γ_p * P_eff,i + σ_s * A_s + α_pi σ_cpi * A_p = 1,2 * 960*10³ + 83,10⁶ * 942*10^-6 + 5,91 * 20,8*10⁶ * 800*10^-6 = 1132*10³ N

Kraft som överförs till området under spännstålets tyngdpunkt

Med hänsyn till principen att kraftlinjer inte skall korsa varandra, se huvuddel 2, avsnitt X1.3, inses att den lägre delen av spänningsfördelningen motsvarar kraften som överförs från den högra delen av överföringssträckan, se figur nedan. Därför väljs att avlänka kraften F_c1 nedåt och en lika stor kraft F_c2 = F_c1 uppåt från den högra delen av överföringssträckan.

Vidhäftningsspänningen antas konstant utefter hela överföringssträckan, enligt beräkningsprincipen i avsnitt Beräkning av överföringssträcka och spridningslängd. Motsvarande längd av överföringssträckan fås som

Vinkeln i underkant mellan sned trycksträva och dragstag väljs till θ₂ = 60^o, se tillämpningsreglerna i avsnitt X1.5. Kraften i dragstaget T₂ kan då beräknas enligt

Motsvarande armeringsmängd blir                      

Med hänsyn till krav i bruksgränstillstånd väljs dock enligt EK2 avsnitt 8.10.3(4)

Denna armering fördelas inom den högra delen av överföringssträckan. Välj överlappande byglar ø10 B500B. Erforderligt antal enheter blir

Kommentar: Enligt EK2 avsnitt 8.10.3 behöver inte sprickbredd kontrolleras i områden med spjälkarmering om spänningen begränsas till 300 MPa vid dimensionering i brottgränstillstånd. I det aktuella fallet är det lämpligt att begränsa sprickbredd med hänsyn dels till lagring av element utomhus, dels till utseende.

Kraften från den vänstra delen av överföringssträckan överförs till den övre delen av tryckzonen. En komposant skall därvid stå i jämvikt med dragkraften i armeringen i överflänsen. Detta motsvarar en kraftlinje i U-sväng, jämför med figur X1-4.

Kraften som skall avlänkas fås som

                      F_c3 = F_c - 2 * F_c1 = 1132 - 2 * 303 = 526 kN

Motsvarande del av överföringssträckan blir

Vinkeln mellan sned trycksträva och vertikalt dragstag väljs till θ₁ = 60^o. Detta motsvarar en spridningsvinkel på 30^o vilket är rimligt enligt tillämpningsreglerna i avsnitt X1.5. Kraften i dragstaget T₁ blir

Motsvarande armeringsmängd blir                      

Med hänsyn till krav i bruksgränstillstånd väljs dock enligt EK2 avsnitt 8.10.3(4)

Denna armering fördelas inom den vänstra delen av överföringssträckan. Välj överlappande byglar ø8 B500B. Erforderligt antal enheter blir

Kommentar: Kraftöverföringen från spännstålet till omgivande betong sker successivt utefter överföringsstäckan och de sneda trycksträvorna motsvarar resultanterna till utbredda spänningsfält. De vertikala dragstagen representerar utbredda dragfält och armeras med fördelad armering. Överkantsarmeringen är ett koncentrerat dragstag. Stålspänningen är låg i övergången mellan B- och D-zon. Nära balkänden avtar spänningen successivt på grund av inverkan av det utbredda tryckfältet. Förankringen av överkantsarmeringen bedöms därför inte vara kritisk och armeringen behöver därför inte bockas ned vid balkänden. Detta innebär att den aktuella dragkraften F_s skall kunna förankras inom längden 0,233 m minus täckskikt, vilket inte visas här.

Dimensionering av nockområde

Nockområdet utgör en diskoninuitetszon och dimensioneras med hjälp av fackverksanalogi.

Snittkrafter i balkmitt:

                      h = 1,20 m                    d_p = h - a_p = 1,20 - 0,048 = 1,15 m

                      Avstånd från överkant till trycksträvans centrum i tryckzonen

                      Tryckzonen ryms inom rektangulär del av överflänsen.

Vertikal armering vid nock

                      T₂ = 2 F_c sinβ = 2 * 885 * sin 3,58^o = 110 kN

                      Välj 5 enskäriga enheter ø8 mm som fördelas inom nockområdet, inom en längd av ca 200 mm.

Kommentar: Den lutande tryckresultanten F_c kan i varje snitt bära en del av tvärkraften, se EK2 avsnitt 6.2.1. Vid nocken finns ingen tvärkraft och de sneda komponenterna måste därför balanseras av särskilt dimensionerad vertikal armering i nocken. När denna förankras uppkommer ett skjuvflöde i livet som har omvänd riktning mot det som orsakas av transversallasten. Intill nocken dominerar skjuvflödet från nockarmeringens förankring. På längre avstånd från nocken dominerar skjuvflödet från transversallasten och de sneda trycksträvorna ändrar riktning.

Horisontell tvärgående armering för koncentration av tryckzonen

Tryckkraften i tryckzonen måste koncentreras till området ovanför balkliv för att kunna balanseras av vertikal armering i livet vid nocken.

                      Välj avlänkningsvinkel                       θ = 60^o

                      Välj 4 byglar ø8 mm (2 skär) som omsluter tryckzonen. Dessa centreras på avståndet 150 mm från balkmitt och fördelas inom en längd av cirka 150 mm.