Svenska Betongföreningens handbok till Eurokod 2 (Volym II), Beräkningsexempel B1

Last modified by FredrikLagerstrom on 2019/09/02 13:46

Source: Svenska Betongföreningens handbok till Eurokod 2 (Volym II), Example B1
Date: 2012

Version av PRE-Stress: 6.07.011 (2019-04-27)

Normer som används

Example B1PRE-Stress
BFS 2004:10 (EBS 1)BFS 2015-6 (EKS 10)
SS-EN 1990 (2010-12-21)SS-EN 1990 (2014-12-xx)
SS-EN 1992-1-1:2005 (2008-11-13)SS-EN 1992-1-1:2005/A1:2014 (2014-01-16)
  

Övrig dokumentation

Svenska betongföreningens handbok till Eurokod 2, (volym I) - Huvuddel I

Förutsättningar

Grundförutsättningar

Sadelbalk ingående i en hallbyggnad. Balkens totallängd L=16,0m och teoretisk spännvidd l = 15,6 m. Balkarnas centrumavstånd a = 6,0 m. Byggnaden är placerad i Borlänge. Taket utgörs av korrugerad stålplåt med isolering. Inomhusmiljö i uppvärmda lokaler (RH = 55%). Exponeringsklass X0. Säkerhetsklass 2.

example b1-001.png

Material:        Betong C45/55
                      Armeringsstål B500B
                      Spännstål:      7-trådig spännlina øp = 13mm, tvärsnittsarea = 100 mm2, relaxationsklass 2
                                             fp0,1k = 1580 MPa
                                             fpuk = 1860 MPa
                                             Ep = 195 GPa
                                             εpuk = 3,5 * 10-3

Balkgeometri och tillverkning

Balken har I-tvärsnitt utefter huvuddelen av längden och rektangulärt tvärsnitt vid ändarna. Översidan har lutning 1:16. Avspänning sker långsamt. Vid avspänning har betongen en hållfasthet motsvarande klass C30/37.

Dimensionerande hållfastheter

Hållfastheter bestäms enligt EK2 avsnitt 3.1.6, 3.2.7, 3.3.6
Betong:
                      fck = 45 MPa
                      fcd = αcc * fckc = 1,0 * 45/1,5 = 30,0 MPa
                      fctk0,05 = 2,7 MPa
                      fctd = αct * fctk0,05c = 1,0 * 2,7/1,5 = 1,80 MPa
                      fctm = 3,8 MPa
                      Ecm = 36 GPa

           Vid avspänning:
                      fck,i = 30 MPa
                      fctk0,05,i = 2,0 MPa
                      fctm,i = 2,9 MPa
                      Ecm,i = 33 GPa

Armering:
                      fyk = 500 MPa
                      fyd = fyks = 500/1,15 = 435 MPa
                      Es = 200 GPa

Spännstål:
                      7-trådig lina
                      øp = 13 mm
                      Api = 100 mm2
                      fp0,1k = 1580 MPa
                      fpd = fp0,1ks = 1580/1,15 = 1374 MPa
                      fpk = 1860 MPa
                      fpud = fpks = 1860 / 1,15 = 1617 MPa
                      Ep = 195 GPa
                      εpuk = 3,5 * 10-3

Dimensionerande last

Permanent last:
                      Egentyngd balk:                gb
                      Egentyngd tak:                  gr = 0,4 kN/m2 (korrugerad stålplåt med isolering)
                      Egentyngd installationer:   gs = 0,5 kN/m2

Variabel last:
                      Snölast (EN 1991-1-3, avsnitt 5.2, 5.3.2, bilaga NA, NB):
                                            s = μi * Ce * Ct * sk
                                            μi = 0,8 (formfaktor), (sadeltak, taklutning 1:16, motsvarar 3,5º < 30º)
                                            Ce = 1,0 (exponeringskoefficient) (antas på säker sida till 1,0)
                                            Ct = 1,0 (värmekoefficient) (antas på säker sida till 1,0)
                                            sk = 3 kN/m2 (karaktäristisk snölast på mark, snözon 3)
                                            s = 0,8 * 1,0 * 1,0 * 3,0 = 2,4 kN/m2
                                            Reduktionsfaktorer (SS-EN 1990, bilaga NB):
                                            ψ0 = 0,8; ψ1 = 0,6; ψ2 = 0,2 (för snölast sk >= 3,0 kN/m2)
                      I detta exempel behandlas endast snölastfall med jämnt utbredd last på hela balken.

Brottgränstillstånd (SS-EN 1990, avsnitt 6.4.3.2, bilaga NB, BFS 2004:10 (Anm. Upphävd genom BFS 2008:8 (EKS 1)))

                      Lastkombination enligt ekv (6.10a):
example b1-002.png                 γd = 0,91 (säkerhetsklass 2)
                      Dimensionerande last per längdmeter balk, balkarnas centrumavstånd 6,0 m:
                      qd = 0,91 * 1,35 (gb + 0,4 * 6,0 + 0,5 * 6,0) + 0,91 * 1,5 * 0,8 * 2,4 * 6,0 = 1,23 * gb + 22,4 kN/m

                      Lastkombination enligt ekv (6.10b):
example b1-003.png
                      Dimensionerande last per längdmeter balk, balkarnas centrumavstånd 6,0 m:
                      qd = 0,91 * 0,89 * 1,35 (gb + 0,4 * 6,0 + 0,5 * 6,0) + 0,91 * 1,5 * 2,4 * 6,0 = 1,09 * gb + 25,6 kN/m

Bruksgränstillstånd (SS-EN 1990, avsnitt 6.5.3):

                      Karaktäristisk lastkombination:
example b1-004.png
                                    Karaktäristisk last per längdmeter balk
                                    qk = (gb + 0,4 * 6,0 + 0,5 * 6,0) + 2,4 * 6,0 = gb + 19,8 kN/m

                      Frekvent lastkombination:
example b1-005.png
                                    Frekvent last per längdmeter balk
                                    qf = (gb + 0,4 * 6,0 + 0,5 * 6,0) + 0,6 * 2,4 * 6,0 = gb + 14,0 kN/m

                      Kvasipermanent lastkombination:
example b1-006.png
                                    Kvasipermanent last per längdmeter balk
                                    ql = (gb + 0,4 * 6,0 + 0,5 * 6,0) + 0,2 * 2,4 * 6,0 = gb + 8,3 kN/m

Spänningskriterier

Utöver spänningsbegränsningar som anges i EK2 avsnitt 7.2 skall balken dimensioneras så att balken förblir osprucken för karaktäristisk lastkombination i bruksgränstillstånd (frivilligt val).

För karaktäristisk last i bruksgränstillstånd väljs att begränsa normalspänning vid dragen kant enligt

                      σct,max = fctk0,05 = 2,7 MPa

Kommentar: För en förspänd konstruktion i exponeringsklass X0 finns enligt EK2 inget krav på sprickfrihet i bruksgränstillstånd. I det aktuella exemplet är sprickfrihet därför ett eget och frivilligt valt dimensioneringskriterium. Enligt EK2 avsnitt 7.1(2) kan ett tvärsnitt betraktas som osprucket om normalspänningen vid böjning inte överskrider fct,eff, där fct,eff får sättas till fctm eller fctm,fl. Detta ger en realistisk bedömning av huruvida tvärsnittet ska beaktas som sprucket eller osprucket, men innebär samtidigt en relativt hög risk för sprickbildning. Vid dimensionering för sprickfrihet kan det vara lämpligt att välja ett lägre värde, exempelvis lågt karaktäristiskt värde fctk0,05. Om det är aktuellt att ta hänsyn till korrosionsrisk begränsas spänningen till fctk0,05/ξ där ξ är spricksäkerhet enligt bilaga NA.

Om normalspänning vid tryckt kant överskrider 0,45fck för kvasipermanent last bör olinjär krypning beaktas, EK2 avsnitt 7.2(3).

                      |σcc,max| = 0,45fck = 0,45 * 45 = 20,3 MPa

Vid avspänning godtas böjsprickor i balkens överkant. Normalspänning vid tryckt kant bör begränsas för att undvika skador på grund av krossning eller spjälkning (längsgående sprickor). Enligt EK2 avsnitt 5.10.2.2(5) får följande begränsning tillämpas för förespända element om det kan visas genom försök eller erfarenhet att spjälkning inte inträffar.

                      |σcci,max| = k6 * fcki = 0,7 * 30 = 21,0 MPa

                      där k6 är en nationell parameter, enligt bilaga NA tillämpas rekommenderat värde.

Kommentar: Spännkraften verkar permanent på konstruktionen och bör därför beaktas som en långtidslast. Vid spänningsnivåer över 0,45fcki kan olinjär krypning förväntas, vilket då bör beaktas vid bestämning av kryptal, EK2 5.10.2.2(5).

Preliminär dimensionering

Val av balkhöjd och bestämning av balkgeometri

Balktvärsnitt väljs preliminärt med hjälp handboken Bygga med prefab. För förspända sadelbalkar SIB/F med spännvidd 15-20m väljs balkhöjden vid nock till 900, 1050, 1200, 1330mm.

Enligt diagram har SIB/F/30/105 en bärförmåga på ca 30 kN/m (utöver egentyngd) och en spricklast på ca 20 kN/m. För att inte ligga för nära balkens kapacitet, speciellt med hänsyn till påkänningar vid avspänning, väljs SIB/F/30/120.

Balktvärsnitt i mittsnitt, beteckningar enligt figur nedan:

                      b = 0,30 m;           bw = 0,10 m

                      h = 1,20 m;           hfl = 0,12 m;           hf2 = 0,10 m;           hf3 = 0,05 m;           hf4 = 0,16 m

Balkhöjd vid ändsnitt:

example b1-007.png

                      där balkens lutning bestäms av                       example b1-008.png

Längd med full bredd: lb = 0,80 m från balkände, därefter I-tvärsnitt.

example b1-009.png

Möjlig placering av spännlinor:

Minsta täckande betongskikt för byglar (EK2 avsnitt 4.4.1.2):

                      Antag byglar øv = 12 mm

                      cmin = max{cmin,b, cmin,dur, 10 mm} = max{øv, 0, 10 mm} = 12 mm

                      Nominellt täckande betongskikt (EK2 avsnitt 4.4.1.1, 4.4.1.3):

                      cnom = cmin + Delta.pngcdev = 12 + 5 = 17 mm

Med hänsyn till kvalitetsåtgärder vid förtillverkning tillämpas här ett reducerat värde på måttavvikelse (EK2 avsnitt 4.4.1.3 (3)). Nominellt täckskikt bör dock vara en multipel av 5 mm.

                      Välj øv = 20 mm för byglar.

Minsta täckande betongskikt för spännlinor (EK2 avsnitt 4.4.1.2):

                      cmin = max{cmin,b, cmin,dur, 10 mm} = max{1,5*øv, 10 mm, 10 mm} = 1,5 * 13 = 20 mm

                      Nominellt täckande betongskikt (EK2 avsnitt 4.4.1.1, 4.4.1.3):

                      cnom = cmin + Delta.pngcdev = 20 + 5 = 25 mm

                      Med hänsyn till byglar måste spännlinornas täckskikt dock uppfylla

                      c ≥ cv + øv = 20 + 12 = 32 mm

Avstånd mellan kant och centrum spännlina:

example b1-010.png

Avstånd mellan spännlinor (EK2 avsnitt 8.10.1.2):

                      Minsta fria avstånd mellan linor i samma lager:

                      max{dg + 5, 2øp, 20 mm} = max{12 + 5, 2 * 13, 20 mm} = 26 mm

                      där dg = 12 mm (ballastens största storlek)

                      Centrumavstånd mellan linor i samma lager: example b1-011.png

                      Minsta fria avstånd mellan lager: max{dg, 2øp} = max{12, 2 * 13} = 26 mm

                      Centrumavstånd mellan lager: example b1-012.png

Antal spännlinor som ryms i ett lager:

example b1-013.png Högst 6 spännlinor ryms i ett lager.

Egentyngd:

                      Förenklat antas egentyngden verka som en jämnt utbredd last, baserat på tvärsnitt vid fjärdedelspunkten.

example b1-014.png

example b1-015.png

  gb ≈ Ac * ρc = 0,166 * 25 = 4,15 kN/m

                      där ρc = 25 kN/m3 (egentyngd för betong inklusive armering)

Dimensionerande last i brottgränstillstånd:

                      Ekv (6.10a): qd = 1,23gb + 22,4 = 1,23 * 4,15 + 22,4 = 27,5 kN/m

                      Ekv (6.10b): qd = 1,09gb + 25,6 = 1,09 * 4,15 + 25,6 = 30,1 kN/m

                      Ekv (6.10b) avgörande: qd = 30,1kN/m

Karakteristisk last i bruksgränstillstånd:      qk = gb + 19,8 = 4,15 + 19,8 = 24,0 kN/m

Frekvent last i bruksgränstillstånd:              qf = gb + 14,0 = 4,15 + 14,0 = 18,2 kN/m

Kvasipermanent last:                                   ql = gb + 8,3 = 4,15 + 8,3 = 12,4 kN/m

Preliminärt val av förspänningskraft

Kritiskt snitt: Det snitt där M( x ) / h( x ) är maximalt antas avgörande för karakteristisk last (sprickbildning vid dragen kant) och kvasipermanent last (normalspänning vid tryckt kant). I båda fallen uppkommer avgörande tillstånd efter lång tid (fullt utbildade tidsberoende effekter) eftersom förspänningseffekten minskar med tiden.

Tvärsnittshöjd h0 vid teoretiskt upplag:

example b1-016.png

example b1-017.png

                      där ls = upplagslängd 

Kommentar: Ovanstående uttryck kan härledas ur villkoret att M( x ) / h( x ) skall vara maximalt. Antag spännkraft efter lång tid P = ηPi = 0,9Pi och att spännlinor kan placeras i två lager med lika många linor i varje.

Kritiskt tvärsnitt:

example b1-018.png

                      Tvärsnittskontanter för betongtvärsnitt utan hänsyn till armering:

                      Ac = 0,181 m2; Ic = 26,1*10-3 m4; xc = 0,542 m

                      Avstånd från kant till spännlinornas centrum: example b1-019.png

                      Effektiv höjd:    dp = h - ap = 1,097 - 0,058 = 1,039 m

                      Spännkraftens excentricitet: e = dp - xc = 1,039 - 0,542 = 0,497 m

I preliminära beräkningar används bruttotvärsnittet utan hänsyn till armering. Enligt EK2 definieras spännkraft som aktuell kraft i spännstålet, se EK2 avsnitt 5.10.3.

Enligt EK2 5.10.9 skall möjlig variation av spännkraft beaktas vid beräkningar i bruksgränstillstånd. Detta görs genom tillämpning av övre och undre karakteristiska värden på spännkraft. När förspänningen har en gynnsam inverkan används undre karakteristiskt värde.

                      Peff,i,k = rinf * Peff,i = 0,95 Peff,i

                      där rinf är en nationell parameter, enligt svensk NA tillämpas rekommenderat värde. 

Kommentar: Då lämpliga åtgärder vidtas (t.ex. direkta mätningar av förespänning) gäller rinf = rsup = 1,0.  I det följande tillämpas rinf = 0,95 för att åskådliggöra principen med karakteristiska värden)

Erforderlig spännkraft med hänsyn till spänningsbegränsning vid karaktäristisk last:

Dimensionerande moment i kritiskt snitt xcrit:

example b1-020.png

example b1-021.png

Spänningsvillkor:

example b1-022.png

                      där η = faktor som beaktar långtidsförlust i preliminära beräkningar, med hänsyn till spännstål med låg relaxation antas η = 0,9.

example b1-023.png

Erforderlig spännkraft med hänsyn till spänningsbegränsning vid kvasipermanent last:

                      Dimensionerande moment i kritiskt snitt xcrit:

example b1-024.png

example b1-025.png

Spänningsvillkor:

example b1-026.png

Kommentar: Att beräknat värde är negativt innebär att tryckspänning i överkant inte är kritisk för långtidslast. Även om spännkraften är noll kommer inte tillåtet värde på maximal tryckspänning att överskridas.

Med hänsyn till spänningsbegränsningar i bruksskedet efter lång tid måste initiell spännkraft uppgå till minst 879 kN. Detta värde avser spännkraften definierad som kraft i spännstålet efter avspänning.

Anordning av spännlinor

Maximal stålspänning vid uppspänning (EK2 avsnitt 5.10.2.1(1)P):

                      σp,max = min{0,8 fpk, 0,9 fp0,1k} = min{0,8*1860, 0,9*1580} = min{1488,1422} = 1422 MPa

Välj stålspänning vid uppspänning: σpi = 1200 MPa

Erforderlig stålarea: example b1-027.png

Välj 2 lager 6 + 2 ø13 mm spännlinor: Api = 100 mm2; Ap = 800 mm2

Spännstålets tyngdpunkt: example b1-028.png

Val av initiell effektiv spännkraft: Peff,i = σpi * Ap = 1200*106 * 800*10-6 = 960*103 N

Kommentar: Den valda kraften avser här kraften i spännbädden. Den bör väljas något högre än beräknad initiell spännkraft som avser kraften i spännstålet efter avspänning.

Preliminär kontroll av spänningar vid avspänning

Ändsnitt:        x = 0 m; Mg = 0

                      Rektangulärt tvärsnitt: b = 0,30 m, hend = 0,70 m

                      Tvärsnittskonstanter för betongtvärsnitt utan hänsyn till armering:

                      Ac = 0,210 m2; Ic = 8,58*10-3 m4; xc = 0,35 m

                      d = hend - ap = 0,70 - 0,048 = 0,652 m;

                      e = d - xc = 0,652 - 0,35 = 0,302 m

I det följande kontrolleras ändsnittet preliminärt med antagande om full inverkan av spännkraft. Detta är på säker sida eftersom spännkraften överförs successivt utefter överföringssträckan. Syftet är nu att bedöma om tvärsnittet är tillräckligt stort i förhållande till vald spännkraft.

                      Peff,i,k = rsup * Peff,i = 1,05 Peff,i

                      där rsup är en nationell parameter, enligt svensk NA tillämpas rekommenderat värde.

Kommentar: Då lämpliga åtgärder vidtas (t.ex. direkta mätningar av förespänning) gäller rinf = rsup = 1,0. I det följande tillämpas rsup = 1,05 för att åskådliggöra principen med karakteristiska värden.

Dragspänning i överkant (beräknas under förutsättning av osprucket tvärsnitt)

example b1-029.png

example b1-030.png

                      (>> fctm,i = 2,9 MPa, tvärsnittet spricker vid avspänning)

Tryckspänning i underkant (beräknas under förutsättning av osprucket tvärsnitt)

example b1-031.png

                      (<|σcci,max| = 21 MPa)

Första snitt med I-tvärsnitt: example b1-032.png

example b1-033.png

example b1-034.png

example b1-035.png

                      Ac = 0,146 m; Ic = 9,47*10-3 m4; xc = 0,371 m

                      d = h - ap = 0,750 - 0,048 = 0,702m;

                      e = d - xc = 0,702 - 0,371 = 0,331 m

Dragspänning i överkant (beräknas under förutsättning av osprucket tvärsnitt)

example b1-036.png

                      = -6,90 + 12,33 = 5,43 MPa

                      (>> fctm,i = 2,9 MPa, tvärsnittet spricker vid avspänning) 

Tryckspänning i underkant (beräknas under förutsättning av osprucket tvärsnitt)

example b1-037.png

                      = -6,90 - 12,60 = 19,5 MPa

                      (<|σcci,max| = 21 MPa)

Kommentar: Eftersom beräknad spänning vid tryckt kant inte är orimligt hög för osprucket tvärsnitt antas att det är möjligt att begränsa tryckspänningen till tillåtet värde även i sprucket tvärsnitt med hjälp av slak armering i sprucken zon.

Preliminär kontroll av momentkapacitet

Dimensionerande moment i kritiskt snitt xcrit:

example b1-038.png

example b1-039.png

Effektiv höjd: h = 1,097 m; d = h - ap = 1,097 - 0,048 = 1,048 m

Inre hävarmen uppskattas som example b1-040.png

                      där överflänsens höjd uppskattas som hfl = hf4 + 0,5 * hf3 = 0,16 + 0,5 * 0,05 = 0,185 m

Uppskattning av momentkapacitet:

     MRd(xcrit) ≈ fpd * Ap * z = 1374*106 * 800*10-6 * 0,956 = 1051*103 Nm

Momentkapaciteten är tillräcklig.

Slutsats

Enligt preliminära beräkningar är en sadelbalk SIB/F/30/120 tillräcklig med hänsyn till kraven i brott- och bruksgränstillstånd. Med en initiell effektiv spännkraft av 960 kN påförd med hjälp av 8 spännlinor fördelade i 2 lager (6 + 2) bedöms balken vara sprickfri för karakteristisk last i bruksgränstillstånd. Maximal tryckspänning för långtidslast bedöms vara acceptabel. Vidare bedöms momentkapaciteten vara tillräcklig för dimensionerande last i brottgränstillstånd.

Det bedöms vara möjligt att med hjälp av kompletterande armering säkra balkens bärförmåga för tvärkraft, förankring och spjälkbrott samt funktion vid avspänning och lyft.

För vald geometri kommer balkens funktion att verifieras genom noggranna beräkningar och kompletterande armering kommer att dimensioneras.

Funktion vid avspänning och hantering

Begränsning av betongspänning vid avspänning

Betongspänning i underkant (tryckspänning) beräknas i ändsnitt samt första snitt med I-tvärsnitt under förutsättning att tvärsnitten är böjspruckna (stadium II). Detta är på säker sida eftersom spännkraften förs in successivt utefter överföringssträckan. Vid kontroll av spännkraftens inverkan på balkens funktion i bruksgränstillstånd bör karakteristiskt värde på spännkraft användas enligt EK2 avsnitt 5.10.9.

Spänningar beräknas noggrant utgående från effektiv spännkraft. Detta innebär att effektiv spännkraft förutsätts verka på ekvivalent betongtvärsnitt i stadium II varvid spännstålet viktas in i balktvärsnittet.

Kommentar: För förespända konstruktioner är det lämpligt att utgå från effektiv spännkraft Peff, som definieras som kraften i spännstålet när betongspänningen på spännstålets nivå är noll. Initiell effektiv spännkraft Peff,i överensstämmer med kraften i spännbädden omedelbart före avspänning, dvs. efter eventuell initiell relaxation av spännstålet i spännbädden. Begreppet effektiv spännkraft definieras inte i EK2, men en konsekvent beräkning utgående från spännkraft (= aktuell kraft i spännstålet) verkande på nettotvärsnittet (utan spännstål) ger samma beräkningsresultat.

Ändsnitt                      hend = 0,70 m;                       b = 0,30 m

Ändsnittet förutsätts spricka vid avspänning, se avsnitt Preliminär kontroll av spänningar vid avspänning. I tvärsnittanalysen som följer definieras effektiva höjder och tyngdpunkt från den tryckta kanten. Den lokala lägeskoordinaten z har origo i det ekvivalenta tvärsnittets tyngdpunkt och är positiv i riktning mot den dragna kanten. Erforderlig dragarmering i överkant beräknas genom iteration. En armeringsmängd antas varefter betongspänning och stålspänning beräknas. Armeringsmängden är tillräcklig när funktionen är acceptabel med hänsyn till tillåten tryckspänning och sprickbredd i överkant.

När förspänningen har en ogynnsam inverkan används övre karakteristiskt värde.

                      Pi,k = rsup * Pi = 1,1Pi

                      där rsup är en nationell parameter, enligt bilaga NA tillämpas rekommenderat värde. 

Kommentar: Då lämpliga åtgärder vidtas (t.ex. direkta mätningar av förespänning) gäller rinf = rsup = 1,05. I det följande tillämpas rsup = 1,05 för att åskådliggöra principen med karakteristiska värden.

Antag armering i överkant: 3 ø20 B500B                       As = 3 * 314 = 942 mm2 

                      cmin = max{cmin,b, cmin,dur, 10 mm} = max{ø, 0, 10 mm} = 20 mm

Nominellt täckande betongskikt (EK2 avsnitt 4.4.1.1, 4.4.1.3):

                      cnom = cmin + Delta.pngcdev = 20 + 5 = 25 mm

Täckande täckskikt till bygel blir avgörande, se avsnitt Val av balkhöjd och bestämning av balkgeometri, vilket ger effektiv höjd enligt

example b1-041.png

Spännstål: 8ø13 i två lager (6+2);                       Ap = 8 * 100 = 800 mm2;                        dp = ap = 0,048 m 

Förhållande mellan E-moduler (korttidslast, reducerad hållfasthet vid avspänning):

example b1-042.png

Betongspänningar beräknas genom iteration. Ekvivalent betongtvärsnitt i stadium II:

                      Antag tryckszonshöjd                      x = 0,25 m

example b1-043.png

                      e = dp - xII = 0,048 - 0,157 = -0,109 m

example b1-044.png

För kontroll beräknas betongspänningen i neutrala lagret, z = x - xII = 0,25 - 0,157 = 0,093 m.

Vid rätt antagande på tryckzonshöjden skall betongspänningen i neutrala lagret vara 0.

example b1-045.png

Resultatet visar att tryckzonshöjden måste vara större än antaget värde 0,25 m. Efter iteration fås

                      x = 0,339 m                      AII = 0,111 m2                      xII = 0,190 m

                      eII = -0,142 m;                  III = 2,35*10-3 m4;                σcx = 0,022 MPa ≈ 0

Maximal tryckspänning beräknas vid tvärsnittets underkant:

example b1-046.png

Tillåten tryckspänning:                      σcci,max = 0,7 fcki = 21 MPa (EK2 5.10.2.2(5))

Eftersom spänningen överskrider 0,45fcki bör olinjär krypning beaktas.

Betongspänning på armeringens nivå:

example b1-047.png

Stålspänning:                      σs = αsi σcsi = 6,06 * 19,5 = 118 MPa

För stålspänning mindre än ca 180 MPa och stångdiameter 20 mm bedöms karakteristisk sprickbredd vara mindre än 0,2 mm, se EK2 avsnitt 7.3.3, tabell 7.2N. Med inlagd överkantsarmering finns därför ingen risk för besvärande sprickbildning i överkant.

Kommentar: Med endast 2 ø20 i överkant överskrids tillåten tryckspänning i underkant (beräkningarna visas inte här).

Första snitt med I-tvärsnitt                      example b1-048.png

Snittet förutsätts spricka vid avspänning. I tvärsnittanalysen definieras effektiva höjder och tyngdpunkt från den tryckta kanten.

example b1-049.png

Betongspänningar beräknas genom iteration för ekvivalent betongtvärsnitt i stadium II. Tryckzonshöjd och tvärsnittskonstanter bestäms genom iteration. Vid antagande om att neutrala lagret hamnar i livet mellan flänsarna fås följande lösning efter iteration.

                      x = 0,448 m

example b1-050.png

                      eII = dp - xII = -0,147 m

example b1-051.png

Maximal tryckspänning beräknas vid tvärsnittets underkant

example b1-052.png

Tillåten tryckspänning                      σcci,max = 0,7 fcki = 21 MPa (EK2 5.10.2.2(5)

Eftersom spänningen överskrider 0,45fcki bör olinjär krypning beaktas.

Betongspänning på armeringens nivå:

example b1-053.png

Stålspänning:                       σs = αsi σcsi = 6,06 * 11,8 = 71,2 MPa

Kontroll av spänning i spännstål före och efter avspänning

Vid beräkning och kontroll av spänning hos spännstål används medelvärde för spännkraft (här medelvärde för effektiv spännkraft). Medelvärdet skall också användas vid beräkning i brottgränstillstånd.

Tillåten stålspänning vid uppspänning (EK2 avsnitt 5.10.2.1):

                      σpi,max = min{0,8fpuk, 0,9fp0,1k} = 1422 MPa

Vald stålspänning vid uppspänning:

example b1-054.png

Tillåten stålspänning efter avspänning (EK2 avsnitt 5.10.3 (2)):

                  σpi,max = min{0,75f, 0,85fp0,1k} = min{0,75*1860, 0,85*1580} = min{1395, 1343} = 1343 MPa

Ändsnitt

Tvärsnittet analyseras i stadium II på samma sätt som i avsnitt Begränsning av betongspänning vid avspänning, men med medelvärde för effektiv spännkraft. Den ändrade förutsättningen ger ingen märkbar förändring av tvärsnittskonstanterna.

Stålspänning i spännstål omedelbart efter avspänning:

                      Betongspänning på spännstålets nivå z = eII = -0,142 m

example b1-055.png

Stålspänningen är något högre i övre lagret z = dp2 - xII = 0,078 - 0,190 = -0,112 m

example b1-056.png

Första snitt med I-tvärsnitt

Tvärsnittet analyseras i stadium II på samma sätt som i avsnitt Begränsning av betongspänning vid avspänning, men med medelvärde för effektiv spännkraft. Den ändrade förutsättningen ger en liten förändring av tvärsnitts-konstanterna.

Stålspänning i spännstål omedelbart efter avspänning:

                      Betongspänning på spännstålets nivå z = eII = -0,147 m

example b1-057.png

Stålspänningen är något högre i övre lagret z = dp2 - xII = 0,078 - 0,195 = -0,117 m

example b1-058.png

example b1-059.png

Tillåten stålspänning bedöms inte överskridas någonstans i balken. 

Beräkning av överföringssträcka och spridningslängd

Överföringssträcka och spridningslängd beräknas enligt EK2 avsnitt 8.10.2.2.

Vidhäftningsspänning fbpt inom överföringssträckan (antas vara jämnt fördelad):

 fbpt = ηp1 η1 fctd(t)

                      där ηp1 = 3,2                        (7-trådig spännlina)

                             η1 = 1,0                      (goda vidhäftningsförhållanden, se EK2 avsnitt 8.4.2)

     example b1-060.png

                             fctm(t) avser betongens medeldraghållfasthet vid tidpunkten för avspänning (motsvarar hållfasthetsklass C30/37)

fbpt = 3,2 * 1,0 * 1,35 = 4,33 MPa

Överföringssträcka, grundvärde:

example b1-061.png

                      där          α1 = 1,0 (långsam avspänning)

                                 α2 = 0,19 (7-trådig spännlina)

                      Stålspänning i ändsnitt omedelbart efter avspänning, se avsnitt Kontroll av spänning i spännstål före och efter avspänning

                      σpm0 = σpi = 1100 MPa

example b1-062.png

Dimensioneringsvärden                      lpt1 = 0,8 * lpt = 0,8 * 0,628 = 0,502 m

                                                        lpt2 = 1,2 * lpt = 1,2 * 0,628 = 0,753 m

Spridningslängd:                                 example b1-063.png

                                                            där d = h - ap = 0,70 - 0,048 = 0,652 m (för ändsnitt)

Kommentar: Spridningslängden motsvarar utsträckningen av den diskontinuitetszon som är en följd av koncentrerat lastangrepp (från spännkraft). Eftersom spännkraften överförs successivt till betongen genom vidhäftningsspänningar inom överföringssträckan får diskontinuitetszonen en större utbredning jämfört med det fall då motsvarande koncentrerad last angriper direkt på balkänden. Jämför med huvuddel 1, avsnitt 5.6.4.

Kontroll av funktion i samband med lyft

Balkens funktion vid lyft och hantering bör kontrolleras i bruksgränstillstånd med avseende på tillåtna spänningar och sprickbredd, samt i brottgränstillstånd med avseende på bärförmåga (tillförlitlighet). För element som lagras utomhus kan det vara lämpligt att begränsa sprickbredder till ca 0,2 mm. Vid lyft, lagring och transport kan stödpunkternas (och lyftpunkternas) lägen variera, vilket innebär att olika längder kan förekomma på utkragande delar. Lyft och transport kan också ge dynamiska effekter som bör beaktas. Beräkningar visas inte i detta exempel.

Funktion i bruksstadiet med hänsyn till tidsberoende effekter

Bestämning av betongens krympning

Krympning bestäms enligt EK2 avsnitt 3.1.4(6). Inomhuskonstruktion, RH ≈ 80%. Ekvivalent tjocklek h0 beräknas för tvärsnitt i fjärdedelspunkten och antas konstant i hela balken.

              example b1-064.png

                      där u = 2,71 m (tvärsnittets omkrets)

Slutlig krympning:                      εcs(∞) = εcd(∞) + εca(∞)

Uttorkningskrympning:               εcd(∞) = kh * εcd,0

                                                   där: example b1-065.png

                                           example b1-066.png

                                          εcd(∞) = 0,966 * 0,228*10-3 = 0,220*10-3

Autogen krympning:                   εca(∞) = 2,5(fck - 10)*10-6 = 2,5(45-10)*10-6 = 0,0875*10-6

Total krympning, slutligt krympmått:

             εcs(∞) = εcd(∞) + εca(∞) = 0,220*10-3 + 0,0875*10-3 = 0,307*10-3

Bestämning av betongens kryptal

Eftersom betontryckspänningen vid avspänning överskrider 0,45fcki bör olinjär krypning beaktas. Denna fås som en korrigering av kryptalet vid linjär krypning.

Slutligt kryptal vid linjär krypning kan uppskattas antingen genom diagram enligt EK2 avsnitt 3.1.4 eller noggrannare med hjälp av EK2 Bilaga B avsnitt B.1 (1). I det följande tillämpas bilagan.

              φ(∞, t0) = øRH * β(fcm)β(t0)

                      Medeltryckhållfasthet     fcm = fck + 8 MPa = 45 + 8 = 53 MPa                      (EK2 avsnitt 3.1.2)

                      För betong med fcm > 35 MPa beräknas øRH som

              example b1-067.png

              example b1-068.png

Kommentar: Tiden t0 motsvarar betongens ålder då spänningen påförs. Tiden fram till på-lastning bör bestämmas som den ekvivalenta tid som ger samma mognad som vid härdning under konstant referenstemperatur 20oC. Ekvivalent tid kan avläsas i huvuddel 1, tabell 3-1 som den tid den aktuella betongen med hållfasthetsklass C45/55 når en hållfasthet som motsvarar betong C30/37, SH-cement förutsätts. Notera att tabell visar kubhållfasthet för respektive hållfasthetsklass. I det aktuella fallet fås en ekvivalent tid av ca 2 dygn.

Kommentar: Vid värmehärdning med ett känt temperaturförlopp kan ekvivalent tid bestämmas med hjälp av EK2 Bilaga B, ekvation (B.10). Se även EK 2 avsnitt 10.3.1.1(3).

För cement av klass R skall tiden justeras innan faktorn (t0) bestäms.

               example b1-069.png

                      där t0,T motsvarar ekvivalent tid

               example b1-070.png

Slutligt kryptal vid linjär krypning:

               φ(∞, t0) = 1,61 * 2,31 * 0,649 = 2,42

Alternativt kan kryptalet uppskattas med hjälp av Figur 3.1 i EK2 avsnitt 3.1.4. Detta ger ett kryptal φ(∞, t0) ≈ 2,4.

Inverkan av olinjär krypning (EK2 avsnitt 3.1.4 (4)):

               φk(∞, t0) = φ(∞, t0) * exp[1,5(kσ - 0,45)]

                     där  example b1-071.png

               φk(∞, t0) = 2,42 * exp[1,5(0,544 - 0,45)] = 2,78

Här har tryckspänningen vid ändsnitt tagits som utgångspunkt för beräkningen, se avsnitt Begränsning av betongspänning vid avspänning. Detta är den största tryckspänningen i balken direkt efter avspänning. Det bör kontrolleras att tryckspänningen i kritiskt snitt inte blir större direkt när långtidslasten läggs på.

Bestämning av spännstålets relaxation

Spännstålets relaxation bestäms enligt EK2 avsnitt 3.3.2.

Spännstål, relaxationsklass 2 (lågrelaxerande spännlina) (EK2 avsnitt 3.3.2 (4))

                      Referensrelaxation (EK2 avsnitt 3.3.2 (6)): ρ1000 = 0,025 

Relaxationsförlust för spännstål relaxationsklass 2 beräknas enligt

                example b1-072.png

                example b1-073.png

För förespänd betong avser σpi stålspänningen i spännbädden efter initiella förluster under uppspänningen, t.ex. ankarglidning.

                      t = 500 000 h (för relaxation efter lång tid, se EK2 avsnitt 3.3.2 (9))

                example b1-074.png

                Delta.pngσpr = 0,0306 * σpi = 0,0306 * 1200 = 36,7 MPa

Kommentar: Tiden 500 000 h motsvarar ca 57 år.

Kommentar: Vid värmehärdning kan det bli aktuellt att beakta spännförlust på grund av förhindrad temperaturrörelse. Denna effekt får försummas om spännlinorna förvärms, se vidare EK2 avsnitt 10.5.2. I detta exempel har förutsatts att värmehärdning inte ger upphov till spännförlust.

Kontroll av kritiskt snitt för långtidslast

Tvärsnittet analyseras först noggrant för långtidslast utan hänsyn till långtidseffekter. Därmed bestäms betongspänningen på spännstålets nivå direkt när långtidslasten läggs på. Denna spänning används för att beräkna långtidsförlust med hänsyn till krympning, krypning och relaxation. Därefter kan tvärsnittet analyseras för långtidslast efter lång tid.

Korttidsrespons

Tvärsnittskonstanter Ac, xc, Ic för betongtvärsnitt (i kritiskt snitt) utan hänsyn till armering beräknades i avsnitt Preliminärt val av förspänningskraft. Tvärsnittskonstanter beräknas nu för ekvivalent osprucket betongtvärsnitt inklusive armering (stadium I), 28-dygnshållfasthet.

                      Förhållande mellan E-moduler (korttidslast):

                example b1-075.png

                      h = 1,097 m;                      dp = h - ap = 1,097 - 0,048 = 0,048 m;                      example b1-076.png

                      AI = Ac + (αpi - 1)A+ (αs-1)As = 0,181 + (5,42 - 1) * 800*10-6 + (5,56 - 1) * 942*10-6 = 0,189 m2

                example b1-077.png

                      II = Ic + Ac(xc-xI)2 + (αpi - 1)Ap(dp-xI)2 + (αsi-1)As(ds-xI)2 = 28,0*10-3 m4

                      eI = dp - xI = 0,508 m

Moment i kritiskt snitt på grund av långtidslast:

                example b1-078.png

                      där xcrit = 6,14 m

Betongspänning på spännstålets nivå (baserat på spännkraftens medelvärde):

                 example b1-079.png

                 example b1-080.png

Spännkraft (= aktuell kraft i spännstålet):                      Pi = σpi Ap = 1160*106 * 800*10-6 = 928*103 N

Kommentar: Spännkraften enligt ovan är kraften i stålet när betongen på spännstålets nivå är tryckt på grund av långtidslast. Detta är således inte detsamma som ”effektiv spännkraft”.

Långtidsförlust

Långtidsförlust bestäms enligt EK2 avsnitt 5.10.6.

                 example b1-081.png

                      där zcp = ec = dp - xc = 1,048 - 0,542 = 0,507 m

Detta innebär att spännkraften (= aktuell kraft i spännstålet) efter lång tid, när långtidslasten verkar konstant (kvasipermanent) blir

                      P = Pi - Delta.pngP = 928 - 132 = 796 kN

Långtidsrespons

I det följande beräknas spänningar noggrant utgående från aktuell kraft i spännstålet, dvs. inte effektiv spännkraft. Kraften i spännstålet betraktas då som en yttre last som verkar på det armerade betongtvärsnittet (nettotvärsnitt utan spännstål). Tvärsnittskonstanter beräknas för ekvivalent betongtvärsnitt i stadium I varvid ospänd armering viktas med faktorn (αs,ef - 1) med hänsyn till betongens krypning. För kontroll av balkens funktion bör karakteristiskt värde på spännkraften tillämpas.

Kommentar: Med hänsyn till modellen för långtidsförlust i EK2 är det inte möjligt att enkelt relatera spänningen i spännstålet till betongens spänning på spännstålets nivå. Därför kan inte spännstålet viktas in i ekvivalent tvärsnitt genom en viktningsfaktor αef.

Tvärsnittskonstanter för ekvivalent betongtvärsnitt osprucket (stadium I), utan spännstål men inklusive slakarmering, långtidsrespons:

                  example b1-082.png

                      AI,net,ef = Ac - Ap + (αs,ef - 1)As = 0,181 - 800*10-6 + (21,0 - 1) * 942*10-6 = 0,199m2

                  example b1-083.png

II,net,ef = Ic + Ac(xc - xI,net,ef)2 - Ap(dp - xI,net,ef)2 + (αs,ef - 1)As(ds - xI,net,ef)2 = 30,1*10-3 m4

                      eI,net,ef = dp - xI,net,ef = 0,556 m

Betongspänning i underkant

                  example b1-084.png

                      < σct,max = fctk0,05 = 2,7 MPa                      Ingen risk för sprickbildning.

Betongspänning i överkant

                  example b1-085.png

                      > -|σcc,max| = -20,3 MPa                      OK

Effektiv spännkraft efter lång tid

Betongspänning på spännstålets nivå vid långtidslast (baserat på spännkraftens medelvärde):

                  example b1-086.png

Aktuell stålspänning:                      example b1-087.png

Effektiv spännkraft definieras som kraften i spännstålet när betongspänningen på spännstålets nivå är noll. Detta tillstånd uppkommer för en tänkt pålastning med korttidslast så att betongspänningen på stålets nivå ökar med 5,51 MPa. Vid fullständig samverkan ökar spänningen i spännstålet med αp (korttidsvärde) gånger så mycket. Effektiv spännkraft kan således beräknas som

                      Peff,∞ = P + αpcp∞|Ap = 796*103 + 5,42 * 5,51*106 * 800*10-6 = 820*103 N

Kontroll av kritiskt snitt för karakteristisk last efter lång tid

Karakteristisk last läggs på efter lång tid vilket är den ogynnsammaste förutsättningen. Lastfallet ger en blandad respons med långtids- och korttidsandelar. Eftersom tvärsnittet är osprucket kan de olika lastfallen superponeras. För korttidsrespons fordras tvärsnittskonstanter för nettotvärsnitt utan spännstål.

Tvärsnittskonstanter för ekvivalent betongtvärsnitt osprucket (stadium I), utan spännstål, korttidsrespons:

                      AI,net = Ac - Ap + (αs - 1)As = 0,181 - 800*10-6 + (5,56 - 1) * 942*10-6 = 0,184 m2

                      xI,net = 0,528 m;                     II,net = 26,9*10-3 m4;                     eI,net = d- xI,net = 0,520 m

Moment i kritiskt snitt på grund av karakteristisk last                      xcrit = 6,14 m

                  example b1-088.png

Uppskattning av spännkraftens ökning på grund av elastisk deformation när momentet ökar

                  example b1-089.png

Antag Delta.pngPel = 26 kN (eftersom spännkraften ökar dämpas inverkan av lastökningen)

Betongspänning i underkant

example b1-090.png

                        < σct,max = fctk0,05 = 2,7 MPa                Obetydlig risk för sprickbildning

Betongspänning i överkant

example b1-091.png

                      > -|σcc,max| = -20,3 MPa                      OK

Kontroll av antagen spännkraftökning:

σcp∞ = -5,51 MPa (för långtidslast efter lång tid)

example b1-092.png

Delta.pngPel = αpicp - σcp∞)Ap = 5,42 * (0,563 + 5,51)*106 * 800*10-6 = 26,3*103 N                      OK

Effektiv spännkraft efter lång tid i olika snitt i balken

Effektiv spännkraft efter lång tid får olika värden i olika snitt utefter balken beroende på att betongspänningen på spännstålets nivå varierar. Beräkningarna genomförs på samma sätt som för kritiskt snitt, se avsnitt Kontroll av kritiskt snitt för karakteristisk last efter lång tid.

Resultaten sammanfattas nedan i form av betongspänning på spännstålets nivå omedelbart efter att långtidslasten läggs på (korrtidsrespons), motsvarande kraft i spännstålet, långtidsförlust, kraft i spännstålet för långtidslast efter lång tid samt effektiv spännkraft efter lång tid.

Snittändsnittx = 1,0 mx = 2,0 mx = 3,0 mx = 4,0 mx = 6,14 mx = 8,0 m
σcpi [MPa]17,213,611,29,137,477,407,36
Pi [kN]886901912920928928928
Delta.pngP [kN]249187165146129132133
Pi - Delta.pngP637714747774799796795
Peff,∞ [kN]764762786807824820821

Dimensionering för brottgränstillstånd

Beräkning av momentkapacitet

Momentkapaciteten beräknas noggrant för kritiskt snitt, enligt principerna i EK2 avsnitt 6.1.

Tvärsnittsgeometri och inplacering av armering

                      h = 1,097 m

                      Ap1 = 6 * Api = 6 * 100 mm2 = 600 mm2                      dp1 = h - se = 1,097 - 0,039 = 1,058 m

                      Ap2 = 2 * Api = 2 * 100 mm2 = 200 mm2                      dp2 = dp1 - sv = 1,058 - 0,039 = 1,019 m

                      As = 3 * Asi = 3 * 314 mm2 = 942 mm2

                   example b1-093.png

Dimensionerande arbetskurva för spännstål

Välj arbetskurva med lutande övre gren och töjningsbegräsning enligt EK2 avsnitt 3.3.6, figur 3.10.

                   example b1-094.png

Gren 1:          σp = Ep * εp = 195*109 εp                      för εp ≤ εpy

Gren 2:          example b1-095.png

                                                                                  för εpy ≤ εp ≤ εpud

Kommentar: I det aktuella fallet finns egentligen ingen anledning att välja arbetskurva med lutande övre gren eftersom den preliminära beräkningen i avsnitt Preliminär kontroll av momentkapacitet antyder att tvärsnittet med god marginal har tillräcklig kapacitet. Här väljs dock detta alternativ för att visa förfarandet.

Dimensionerande arbetskurva för armeringsstål

För ordinarie armering väljs arbetskurva med horisontell övre gren utan töjningsbegräsning enligt EK2 avsnitt 3.2.7, figur 3.8.

                   example b1-096.png

Dimensionerande arbetskurva för betong

För betong väljs förenklad beräkningsmetod med rektangulärt tryckblock enligt EK2 avsnitt 3.1.7, figur 3.5. För betong C45/55 gäller

                      λ = 0,8         η = 1,0                 brottstukning:           εcu = εcu3 = 3,5*10-3

Förspänningstöjning i brottgränstillstånd

Enligt EK2 avsnitt 6.1 skall spännstålets ”initialtöjning” beaktas vid bestämning av spänning, dvs. stålspänningen. Av figur 6.1 framgår att det är spännstålets töjning i förhållande till betongens töjning som avses, dvs. töjningsskillnaden. För spännkraft används dimensioneringsvärde i brottgränstillstånd enligt EK2 5.10.8 med partialkoefficient enligt 2.4.2.2. Denna är nationell parameter, enligt bilaga NA används rekommenderat värde.

                   example b1-097.png

Kommentar: Töjningsskillnaden mellan spännstål och omgivande betong kan enkelt bestämmas med hjälp av effektiv spännkraft. Eftersom töjningsskillnaden har en gynnsam inverkan bör man utgå från effektiv spännkraft efter lång tid. Begreppet ”initialtöjning” i EK2 bör tolkas som töjning på grund av förspänning (innan brottlasten läggs på) och inte som initiell töjningsskillnad.

Tvärsnittsanalys, antag betongen avgörande

Antag att spännstålet har nått flytning (gren 2), att tryckarmeringen flyter och att betongens krossning är avgörande för brottet. Vidare antas att tryckzonshöjden är mindre än överflän-sens rektangulära del, dvs. mindre än 0,16 m.

Villkor om horisontell jämvikt ger:

                   ηfcd * b * λx + σs * As = σp1 * Ap1 + σp2 * Ap2

Töjningsrelationer:

                   example b1-098.png

Insättning ger:

                   example b1-099.png

                   example b1-100.png

                      Kontroll:                       example b1-101.png

                                                       example b1-102.png

Tillåten ståltöjning överskrids och tvärsnittet måste analyseras under förutsättning att ståltöjningen är avgörande.

Tvärsnittsanalys, antag spännstålet avgörande

Stålspänning då tillåten ståltöjning uppnås:                       εp1 = εpud = 31,5*10-3

                   σp1 = 1313*106 + 8,69*109 εp1 = 1313*106 + 8,69*109 * 31,5*10-3 = 1587*106 Pa

Betongstukningen i överkant blir mindre än stukgränsen. Övriga ståltöjningar relateras därför till den kända ståltöjningen i undre lagret. Vidare antas att tryckarmeringen inte flyter.

                   example b1-103.png

Villkor om horisontell jämvikt ger:

                   example b1-104.png

                      Kontroll:

                   example b1-105.png

                      σs = Es * εs = 200*109 * 2,16*10-3 = 433*106 Pa

                   example b1-106.png

                      σp2 = 1313*106 + 8,69*109 * 30,4*10-3 = 1577*106 Pa

example b1-107.png

                      > MEd = 874 kNm                      OK                      (enligt avsnitt Preliminär kontroll av momentkapacitet)

Betongstukning i överkant:

                   example b1-108.png

Kommentar: Momentkapaciteten är ca 20 % högre jämfört med preliminär kontroll enligt avsnitt Preliminär kontroll av momentkapacitet, främst beroende på att spännstålets hållfasthet utnyttjas fullt ut.

Kommentar: Metoden med förenklat tryckblock förutsätter egentligen att tryckblocket är fullt utbildat, dvs. att brottstukningen nås. I det aktuella fallet är stukningen i tvärsnittets överkant dock så stor att beräkningsresultatet inte påverkas nämnvärt. En noggrann beräkning med hänsyn till arbetskurvans form och aktuell töjningsfördelning över tryckzonen ger i det aktuella fallet exakt samma resultat.

Kontroll med avseende på livskjuvbrott

Enligt EK2 avsnitt 6.2.2(2) får livskjuvbrottets kapacitet tillgodoräknas, i förspända konstruktionsdelar som är fritt upplagda i ett spann, inom de områden som kan anses sakna böjsprickor. Snitt där beräknad böjspänning underskrider dimensionerade draghållfasthet i brottgränstillstånd får betraktas som ospruckna.

Det snitt där draghållfastheten precis uppnås bestäms genom iteration. För beräkning i brottgränstillstånd används effektiv spännkraft efter lång tid med partialkoefficient enligt EK2 avsnitt 2.4.2.2.

Dimensionerande draghållfasthet:                       fctd = 1,80 MPa

Efter iteration framkommer att draghållfastheten precis uppnås i snitt xcr = 2,87 m 

Dimensionerande moment i brottgränstillstånd:

                   example b1-109.png

Tvärsnittskonstanter fås som:

                   example b1-110.png

                      Ac = 0,160 m2                      xc = 0,441 m                      Ic = 15,1*10-3 m4

                      ec = dp - xc = 0,403 m

Effektiv spännkraft uppskattas med hjälp av tabell i B1.4.7 till                       Peff,∞ ≈ 800 kN

Böjdragspänning:

                   example b1-111.png

Inom området från upplag till snittet xcr = 2,87 m får livskjuvbrottets kapacitet tillgodoräknas. Inom övriga delar måste sneda sprickor förutsättas och balken kontrolleras med avseende på böjskjuvbrott.

Livskjuvbrottet kontrolleras i ett snitt x1 som bestäms av tyngdpunktsaxelns skärning med en rät linje i 45o vinkel från upplagets kant, EK2 avsnitt 6.2.2(3). Upplaget antas utgöras av ett 100 mm brett mellanlägg i centrum av den stödjande bärverksdelen. Koordinaten för kritiskt snitt beräknas genom att sätta ekvationerna för de två linjerna lika varandra.

                   example b1-112.png

                   example b1-113.jpg

Detta är inom den del där balken har rektangulärt tvärsnitt

                   example b1-114.png

Avstånd från balkände till kritiskt snitt:                      example b1-115.png

Effektiv spännkraft uppskattas med hjälp av tabell i B1.4.7 till Peff,∞ ≈ 760 kN

Livskjuvbrottets kapacitet:                      example b1-116.png

Tvärsnittskonstanter:

                   example b1-117.png

Inverkan av lutande tryckresultant, EK2 avsnitt 6.2.1, se även huvuddel 1, avsnitt 6.2.2):

                   example b1-124.png

Detta bidrag kan beaktas antingen genom att reducera dimensionerande tvärkraft eller genom att öka tvärkraftskapaciteten. Tvärkraftskapaciteten med hänsyn till livskjuvbrott är tillräcklig.

Livskjuvbrottets kapacitet kontrolleras även i snitt x2 inom delen med I-tvärsnitt. Även här antas att kritisk punkt finns på skärningspunkten mellan tyngdpunktsaxeln och en rät linje i 45o lutning från balkens underkant vid livövergången.

                   example b1-125.png

                   example b1-126.png

Avstånd från balkände till kritiskt snitt:                      example b1-127.png

Effektiv spännkraft uppskattas med hjälp av tabell i B1.4.7 till Peff,∞ ≈ 760 kN

Tvärsnittskonstanter:

                   example b1-128.png

                      Ac = 0,148 m2                      xc = 0,382 m                      Ic = 10,3*10-3 m4

                      Sc = 18,0*10-3 m4               bw = 0,10 m

                   example b1-129.png

Inverkan av lutande tryckresultant:

                   example b1-133.png

                      VEd - Vccd = 205 - 20,8 = 184 kN < VRd,c = 202 kN

Tvärkraftskapaciteten med hänsyn till livskjuvbrott är tillräcklig även här. Detta innebär att inom området som får antas sakna böjsprickor i brottgränstillstånd erfordras inte statiskt verksam tvärkraftsarmering. Däremot bör minimiarmering läggas in.

Kontroll med avseende på böjskjuvbrott

Inom böjsprucken del måste sneda böjskjuvsprickor förutsättas. Tvärkraftskaciteten utan tvärkraftsarmering beräknas enligt EK2 avsnitt 6.2.2. Tvärkraften i ett snitt på avståndet 0,9d från första böjsprickan antas vara dimensionerande för böjsprucken del. Förskjutningen 0,9d be-stäms av den sneda sprickans horisontella projektion.

                   example b1-135.png

Kommentar: Enligt EK2 6.2.1(8) är det inte nödvändigt att kontrollera tvärkraften inom ett avstånd d från upplagets kant om lasten huvudsakligen utgörs av fördelad last. Detta kan förklaras genom ett betraktelsesätt med sneda skjuvsprickor i ungefär 45o lutning. Uttrycket för livtryckbrott (övre gräns för tvärkraftskapacitet) i bärverksdel utan tvärkraftsarmering bygger på samma förutsättning, dvs. sneda trycksträvor i 45o lutning. Dragkraftens tillskott på grund av sneda skjuvsprickor enligt EK2 6.2.2(5) förutsätter dock en flackare lutning, vilket är ett konservativt antagande för dimensionering av förankringszoner. I det följande tillämpas ett synsätt med sneda skjuvsprickor i 45o lutning och motsvarande förskjutning av 0,9d.

                   example b1-137.png

Tvärsnittskonstanter:

                   example b1-138.png

                      Ac = 0,165 m2                      bw = 0,10 m

Tvärkraftskapacitet utan tvärkraftsarmering:

                      VRd,c = [CRd,c * k(100 * ρ1 * fck)1/3 + k1σcp]bw * d

                      dock minst                      VRd,c = [νmin + k1σcp]bw * d

                   example b1-139.png

                   example b1-140.png

                   example b1-141.png

                   example b1-142.png

Effektiv spännkraft uppskattas med hjälp av tabell i B1.4.7 till Peff,∞ ≈ 815 kN

                   example b1-143.png

                      VRd,c = [0,12 * 1,47(100 * 8,95*10-3 * 45)1/3 + 0,15 * 4,93]0,10 * 0,894 = 120 kN

                      νmin = 0,035 * k3/2 * fck1/2 = 0,035 * 1,473/2 * 451/2 = 0,420 MPa

                      VRd,c,min = [νmin + k1σcp]bw * dp = (0,420 + 0,15 * 4,93)0,10 * 0,894 = 104 kN

                      Dimensionerande tvärkraft:

                   example b1-144.png

                   example b1-145.png

Inverkan av lutande tryckresultant, EK2 avsnitt 6.2.1, se även huvuddel 1, avsnitt 6.2.2):

                   example b1-146.png

                      VEd - Vccd = 124 - 51,2 = 72,8 kN < VRd,c = 104 kN

Tvärkraftskapaciteten utan tvärkraftsarmering är tillräcklig.

Dimensionering av tvärkraftsarmering (minimiarmering)

Balkar bör enligt EK2 avsnitt 6.2.1(4) alltid förses med en minsta mängd tvärkraftsarmering som beräknas enligt avsnitt 9.2.2(5). Välj vertikala enskäriga enheter ø6 B500B.

                   example b1-147.png

                      vilket med vald armering motsvarar:                      example b1-148.png

Maximalt centrumavstånd, enligt EK2 9.2.2(6)                      sl,max = 0,75d(1+cot α)

För minsta balkhöjd                      d0 = h0 - ap = 0,713 - 0,048 = 0,664 m

                                                     sl,max = 0,75 * 0,664 = 0,498 m

Hela balken förses med minimarmering i form av enskäriga byglar ø6 B500B s260 mm.

Kontroll med avseende på livtryckbrott

Övre gräns för bärförmåga kontrolleras dels vid upplag för område med rektangulärt tvärsnitt, dels vid övergången mellan rektangulärt tvärsnitt och I-tvärsnitt.

Upplagssnitt

För område utan statiskt verksam tvärkraftsarmering beräknas övre gräns för bärförmåga enligt EK2 6.2.2(5).

                      h0 = 0,713 m                     dp = h0 - ap = 0,713 - 0,048 = 0,664 m

                    example b1-149.png

                    example b1-150.png

                      VRd,max = 0,5 * 0,30 * 0,664 * 0,492 * 30*106 = 1471*103 N > VEd

I detta snitt fås inget bidrag från lutande tryckkraft eftersom böjande momentet är noll.

                   example b1-151.png

Första snitt med I-tvärsnitt

                     example b1-152.png

                     example b1-153.png

                      VRd,max = 0,5 * 0,10 * 0,702 * 0,492 * 30*106 = 518*103 N > VEd

                      där bw = 0,10 m

                     example b1-154.png

Inverkan av lutande tryckresultant, EK2 avsnitt 6.2.1

                     example b1-155.png

Detta bidrag kan beaktas antingen genom att reducera dimensionerande tvärkraft eller genom att öka tvärkraftskapaciteten. Tvärkraftskapaciteten med hänsyn till livtryckbrott är tillräcklig i hela balken.

Kontroll av förankring

Den dragkraft som skall förankras bör enligt EK2 avsnitt 8.10.2.3 bestämmas i det snitt där beräknad dragspänning i brottgränstillstånd uppnår fctk0,05. Dragkraften beräknas för böjsprucket tvärsnitt och inverkan av sneda sprickor bör beaktas.

Lägre karakteristisk draghållfasthet                      fctk0,05 = 2,70 MPa

Efter iteration framkommer att draghållfastheten precis uppnås i snitt xcr = 3,19 m

Dimensionerande moment i brottgränstillstånd:

                     example b1-156.png

Tvärsnittskonstanter fås som:

                     example b1-157.png

                      Ac = 0,162 m2;                      xc = 0,450 m                      Ic = 16,0*10-3 m4

                      ec = dp - xc = 0,413 m

Effektiv spännkraft uppskattas med hjälp av tabell i B1.4.7 till Peff,∞ ≈ 800 kN

Böjdragspänning:

                     example b1-158.png

Dimensionerande dragkraft skall bestämmas med hänsyn till inverkan av sneda sprickor. Enligt EK2 avsnitt 6.2.2(5), se även 9.2.1.3(2), kan detta uppskattas genom att förskjuta teoretisk dragkurva sträckan al = d. Detta motsvarar ett dragkraftstillskott av Delta.pngFtd =1,11 VEd

                     example b1-159.png

Kommentar: Sambandet mellan dragkraftstillskott Delta.pngFtd och förskjutning al av teoretisk dragkraftskurva kan generellt uttryckas som

                     example b1-162.png                      för det aktuella fallet fås då:                      example b1-163.png

Dragspänning i spännstål:                      example b1-164.png

Erforderlig förankringslängd enligt EK2 avsnitt 8.10.2.3:

                     example b1-165.png

                      lpt2 = 0,753 m;                      α2 = 0,19                      (enligt avsnitt Beräkning av överföringssträcka och spridningslängd)

                     example b1-166.png                  (beräknas för ändsnitt)

                      fbpd = ηp2 * η1 * fctd = 1,2 * 1,0 * 1,8 = 2,16 MPa

                      där                      ηp2 = 1,2                      (7-trådig spännlina)

                                                 η1 = 1,0                       (goda vidhäftningsförhållanden, EK2 8.10.2.2)

                     example b1-167.png

Förankringen behöver inte kontrolleras där beräknad dragspänning är mindre än fctk0,05.

Dimensionering av spjälkarmering i ändzon

Utbredningen av diskontinuitetszonen (= spridningslängden) kan bestäms enligt EK2 avsnitt 8.10.2.2(4). Med hänsyn till spjälkeffekter är en kort överföringssträcka ogynnsam varför det undre värdet lpt1 enligt avsnitt Beräkning av överföringssträcka och spridningslängd används i beräkningen.

                     example b1-168.png

Motsvarade snitt:

                     example b1-169.png

                      där ls = upplagslängd

Från och med detta snitt kan en rätlinjig töjningsfördelning förutsättas. Det infaller i delen med I-tvärsnitt och mycket nära övergången mellan rektangulärt tvärsnitt och I-tvärsnitt. Det är uppenbart att tvärsnittet spricker vid avspänning, se avsnitt Preliminär kontroll av spänningar vid avspänning. Spjälkarmeringen dimensioneras därför baserat på en spänningsfördelning i stadium II. I tvärsnittanalysen definieras effektiva höjder och tyngdpunkt från den tryckta kanten. Förspänningen har en ogynnsam inverkan vilket beaktas vid beräkning av dimensionerande spännkraft i brottgränstillstånd (XXXp = 1,2).

Effektiv höjd:

                     example b1-170.png

                     example b1-171.png

                      dp = ap = 0,048 m

Moment av egentyngd:

                     example b1-172.png

Betongspänningar beräknas för ekvivalent betongtvärsnitt i stadium II. Tryckzonshöjd och tvärsnittskonstanter bestäms genom iteration. Vid antagande att neutrala lagret hamnar i livet mellan flänsarna fås följande lösning efter iteration (jfr med beräkning av I-tvärsnitt i avsnitt Preliminär kontroll av spänningar vid avspänning).

                      x = 0,439 m                      AII = 0,0875 m2                      xII = 0,192 m

                      eII = dp - xII = -0,143 m                      III = 2,74*10-3 m4

Maximal tryckspänning beräknas vid tvärsnittets underkant:

                     example b1-173.png

Betongspänning på spännstålets nivå:

example b1-174.png

Beräknad betongspänning på armeringens nivå (fiktivt värde i böjsprucket tvärsnitt):

example b1-175.png

Armeringsspänning och dragkraft i armeringen blir:

σs = αsiσcsi = 6,06 * 13,7 = 83,1 MPa                      Fs = σs * As = 83,1*106 * 942*10-6 = 78,3*103 N

Den totala tryckkraften som verkar på betongtvärsnittet kan beräknas som

                      Fc = γp * Peff,i + σs * As + αpi σcpi * Ap = 1,2 * 960*103 + 83,106 * 942*10-6 + 5,91 * 20,8*106 * 800*10-6 = 1132*103 N

Kraft som överförs till området under spännstålets tyngdpunkt

                     example b1-176.png

Med hänsyn till principen att kraftlinjer inte skall korsa varandra, se huvuddel 2, avsnitt X1.3, inses att den lägre delen av spänningsfördelningen motsvarar kraften som överförs från den högra delen av överföringssträckan, se figur nedan. Därför väljs att avlänka kraften Fc1 nedåt och en lika stor kraft Fc2 = Fc1 uppåt från den högra delen av överföringssträckan.

Vidhäftningsspänningen antas konstant utefter hela överföringssträckan, enligt beräkningsprincipen i avsnitt Beräkning av överföringssträcka och spridningslängd. Motsvarande längd av överföringssträckan fås som

                     example b1-177.png

                   example b1-178.png

Vinkeln i underkant mellan sned trycksträva och dragstag väljs till θ2 = 60o, se tillämpningsreglerna i avsnitt X1.5. Kraften i dragstaget T2 kan då beräknas enligt

                   example b1-179.png

Motsvarande armeringsmängd blir                      example b1-180.png

Med hänsyn till krav i bruksgränstillstånd väljs dock enligt EK2 avsnitt 8.10.3(4)

                     example b1-181.png

Denna armering fördelas inom den högra delen av överföringssträckan. Välj överlappande byglar ø10 B500B. Erforderligt antal enheter blir

                     example b1-182.png                      example b1-183.png

Kommentar: Enligt EK2 avsnitt 8.10.3 behöver inte sprickbredd kontrolleras i områden med spjälkarmering om spänningen begränsas till 300 MPa vid dimensionering i brottgränstillstånd. I det aktuella fallet är det lämpligt att begränsa sprickbredd med hänsyn dels till lagring av element utomhus, dels till utseende.

Kraften från den vänstra delen av överföringssträckan överförs till den övre delen av tryckzonen. En komposant skall därvid stå i jämvikt med dragkraften i armeringen i överflänsen. Detta motsvarar en kraftlinje i U-sväng, jämför med figur X1-4.

Kraften som skall avlänkas fås som

                      Fc3 = Fc - 2 * Fc1 = 1132 - 2 * 303 = 526 kN

Motsvarande del av överföringssträckan blir

                     example b1-184.png

Vinkeln mellan sned trycksträva och vertikalt dragstag väljs till θ1 = 60o. Detta motsvarar en spridningsvinkel på 30o vilket är rimligt enligt tillämpningsreglerna i avsnitt X1.5. Kraften i dragstaget T1 blir

                     example b1-185.png

Motsvarande armeringsmängd blir                      example b1-186.png

Med hänsyn till krav i bruksgränstillstånd väljs dock enligt EK2 avsnitt 8.10.3(4)

                     example b1-187.png

Denna armering fördelas inom den vänstra delen av överföringssträckan. Välj överlappande byglar ø8 B500B. Erforderligt antal enheter blir

                     example b1-188.png

Kommentar: Kraftöverföringen från spännstålet till omgivande betong sker successivt utefter överföringsstäckan och de sneda trycksträvorna motsvarar resultanterna till utbredda spänningsfält. De vertikala dragstagen representerar utbredda dragfält och armeras med fördelad armering. Överkantsarmeringen är ett koncentrerat dragstag. Stålspänningen är låg i övergången mellan B- och D-zon. Nära balkänden avtar spänningen successivt på grund av inverkan av det utbredda tryckfältet. Förankringen av överkantsarmeringen bedöms därför inte vara kritisk och armeringen behöver därför inte bockas ned vid balkänden. Detta innebär att den aktuella dragkraften Fs skall kunna förankras inom längden 0,233 m minus täckskikt, vilket inte visas här.

Dimensionering av nockområde

Nockområdet utgör en diskoninuitetszon och dimensioneras med hjälp av fackverksanalogi.

Snittkrafter i balkmitt:

                      h = 1,20 m                    dp = h - ap = 1,20 - 0,048 = 1,15 m

                     example b1-190.png

                     example b1-191.png

                     example b1-192.png

                      Avstånd från överkant till trycksträvans centrum i tryckzonen

                     example b1-194.png

                      Tryckzonen ryms inom rektangulär del av överflänsen.

Vertikal armering vid nock

                      T2 = 2 Fsinβ = 2 * 885 * sin 3,58o = 110 kN

                     example b1-195.png

                      Välj 5 enskäriga enheter ø8 mm som fördelas inom nockområdet, inom en längd av ca 200 mm.

                   example b1-196.png

Kommentar: Den lutande tryckresultanten Fc kan i varje snitt bära en del av tvärkraften, se EK2 avsnitt 6.2.1. Vid nocken finns ingen tvärkraft och de sneda komponenterna måste därför balanseras av särskilt dimensionerad vertikal armering i nocken. När denna förankras uppkommer ett skjuvflöde i livet som har omvänd riktning mot det som orsakas av transversallasten. Intill nocken dominerar skjuvflödet från nockarmeringens förankring. På längre avstånd från nocken dominerar skjuvflödet från transversallasten och de sneda trycksträvorna ändrar riktning.

Horisontell tvärgående armering för koncentration av tryckzonen

Tryckkraften i tryckzonen måste koncentreras till området ovanför balkliv för att kunna balanseras av vertikal armering i livet vid nocken.

                      Välj avlänkningsvinkel                       θ = 60o

                   example b1-197.png

                   example b1-198.png

                      Välj 4 byglar ø8 mm (2 skär) som omsluter tryckzonen. Dessa centreras på avståndet 150 mm från balkmitt och fördelas inom en längd av cirka 150 mm.

Tags:
Copyright 2020 StruSoft AB
PRE-Stress Documentation